Resolva a inequação

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Respostas

respondido por: Nasgovaskov

O conjunto solução da inequação quociente desta questão é

S = {x ∈ ℝ | x < - 1 ou 1 ≤ x < 3 ou x ≥ 6}.

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Temos uma inequação do 2º grau, pois apresenta grau dois, sendo o maior grau desta inequação, e presenta uma desigualdade entre as expressões, sendo representada com uma fração, ou seja, uma inequação quociente:

$\Large\qquad\ \begin{array}{l}\sf\dfrac{~x^2-7x+6~}{x^2-2\:\!x-3}\geq0\end{array}\\\\$

Veja o passo a passo abaixo do método que usamos para encontrar a solução deste tipo de inequação.

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Método de resolução:

Vamos começar representando o numerador como uma função f(x), e o denominador como uma função g(x).

$\Large\qquad\ \begin{array}{l}\sf\dfrac{~\overbrace{\sf x^2-7x+6}^{f(x)}~}{\underbrace{\sf x^2-2\:\!x-3}_{g(x)}}\geq0\end{array}\\\\$

E então vamos estudar o sinal dessas funções. Para isso, igualamos a zero e calculamos as raízes (por fatoração pra agilizar):

$\\\large\begin{array}{l}\sf\dfrac{~x^2-x-6x+6~}{x^2+x-3x-3}=0\\\\\sf\sf\dfrac{~x\cdot(x-1)-6\cdot(x-1)~}{x\cdot(x+1)-3\cdot(x+1)}=0\\\\\sf\dfrac{~(x-1)\cdot(x-6)~}{(x+1)\cdot(x-3)}=0\\\\\sf f(x)=\begin{cases}\sf x-1=0~\Leftrightarrow~x_1=1\\\sf x-6=0~\Leftrightarrow~x_2=6\end{cases}\\\\\sf g(x)=\begin{cases}\sf x+1=0~\Leftrightarrow~x_1=-\,1\\\sf x-3=0~\Leftrightarrow~x_2=3\end{cases}\end{array}\\\\$

Dessa forma, como nas duas funções a > 0, então a concavidade de suas parábolas são voltadas para cima. Assim analisando os sinais temos que quando a parábola está na parte de cima do eixo x, a função é positiva, e quando está na parte de baixo do eixo x, a função é negativa, ou seja:

Na função f: é positiva para x < 1 ou x > 6; é negativa para 1 < x < 6;
Na função g: é positiva para x < - 1 ou x > 3; é negativa para - 1 < x < 3.

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Dessa forma, vamos escrever esses resultados nos intervalos. Como a inequação é ''maior ou igual a zero'' então na função f vamos representar bolinhas fechadas para indicar que os valores 1 e 6 fazem parte da função. Contudo, na função g, por fazer parte do denominador, e como bem sabemos o denominador não pode ser 0 para não ocorrer indeterminação matemática, devemos colocar bolinha aberta para indicar que os valores - 1 e 3 não fazem parte dela:

$\\\large\begin{array}{l}\sf f(x)\quad\, \!\overset{\,++++++}{\textsf{------------}}\!\!\:\!\underset{1}{\bullet}\!\!\:\!\overset{\!-----------}{\textsf{---------------------}}\!\!\underset{6}{\bullet}\!\!\!\overset{++++++}{\textsf{------------}}\!\!\!\blacktriangleright\end{array}$

$\large\begin{array}{l}\sf g(x)\quad\, \!\!\overset{++}{\textsf{-----}}\!\!\!\!\!\:\!\underset{-\,1\,\,\,\,}{\circ}\!\!\!\!\!\:\!\overset{\!--------}{\textsf{-----------------}}\!\!\underset{3}{\circ}\!\!\overset{\!+++++++++++++}{\textsf{------------------------}}\!\!\!\!\blacktriangleright\end{array}\\\\$

Agora para apresentar o intervalo do quociente, vamos colocar os valores dos outros intervalos e fazer a regra de sinais:

$\\\large\begin{array}{l}\sf\dfrac{f(x)}{g(x)}\quad\, \!\!\!\overset{++}{\textsf{-----}}\!\!\!\!\!\:\!\underset{-\,1\,\,\,\,}{\circ}\!\!\!\!\!\:\!\overset{\!---}{\textsf{--------}}\!\!\!\underset{1}{\bullet}\!\!\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\underset{3}{\circ}\!\!\overset{------}{\textsf{------------\!}}\!\!\underset{6}{\bullet}\!\!\overset{\!\!\!\!+++++}{\textsf{------------}}\!\!\!\!\!\blacktriangleright\end{array}\\\\$

Por fim, veja que a inequação é ''maior ou igual zero'', e o que isso quer dizer? Quer dizer que indica para valores positivos . Desta maneira, onde tiver os positivos no intervalo do quociente, é a nossa resposta. Nela vemos valores menores que - 1; ou valores maiores ou iguais a 1 e menores que 3; ou valores maiores ou iguais a 6. Portanto este é o conjunto solução da inequação desta questão

$\\\large\boldsymbol{\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\\sf S=\Big\{\,x\in\mathbb{R}~\,|\,~x<\!-\,1\quad ou\quad1\leq x < 3\quad ou\quad x\geq6\Big\}\\\\\end{array}}}}\\\\$

, ou ainda, em notação de intervalo:

$\\\boldsymbol{\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\\sf S=\Big]\!-\infty~,\:-\:1\Big[~\cup~\Big[1~,~3\Big[~\cup~\Big[6~\,,\,+\,\infty\Big[\\\\\end{array}}}}\\\\$

$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf -----------------------------------------------}\end{array}$ Nota: caso esteja no App Brainly, para melhor visualização dessa resposta acesse o navegador modo desktop. $\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\Huge\text{\sf -----------------------------------------------}\end{array}$ Veja mais sobre: