Question

7. Calcule a integral no intervalo de 0 a 1 usando o seguinte integrando
tg(x).sen(x)
o In(sec(1) + tg(1)) - sen(1)
In(cos(1) + tg(1)) - sen(1)
O Nenhuma das alternativas
o In(sec(1) - tg(1)) - sen(1)
o In(sec(1) + tg(1)) + sen(1)​

Answer 1

$\boxed{\int\limits_0^1{\tan{x}\sin{x}dx}}$

Primeiramente, podemos realizar algumas manipulações trigonométricas:

$\int\limits_0^1{\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\sin{x}dx}=\int\limits_0^1{\sec{x}\sin^2{x}dx}=$

$\int\limits_0^1{\sec{x}(1-\cos^2{x})dx}=\int\limits_0^1{(\sec{x}-\cos{x})dx}=$

$\bigg(\int{\sec{x}dx}-\int{\cos{x}dx}\bigg)\bigg|^1_0$

As integrais de $\sec{x}$ e $\cos{x}$ já são conhecidas:

$\bigg(\int{\sec{x}dx}-\int{\cos{x}dx}\bigg)\bigg|^1_0=$

$\bigg(\ln{(|\tan{x}+\sec{x}|)}-\sin{x}\bigg)\bigg|^1_0=$

$\ln{(|\tan{1}+\sec{1}|)}-\sin{1}-\ln{|\tan{0}+\sec{0}|}+\sin{0}=$

$\boxed{\ln{(|\tan{1}+\sec{1}|)}-\sin{1}}$