Question

Aplicando o algoritmo de Briot - Ruffini resolva a equação a seguir sabendo que 1 e - 1 são duas raízes dessas equações

x4 + x³ - 2x² - x +1 = 0

Answer 1

Resposta:

Aplicando Briot-Ruffini.

Explicação passo-a-passo:

Segue a imagem com a resolução passo a passo.

Answer 2

As raízes do polinômio são -1, 1,  $\frac{-1-\sqrt{5} }{2}$ e $\frac{-1+\sqrt{5} }{2}$.

Algoritmo de Briot-Ruffini

(I) Montando o alinhamento de Briot-Ruffini com o divisor 1 e todos os coeficientes da equação de quarto grau:

1    |    1   1   -2   -1   1

Iniciando a decomposição "abaixando" o 1 na primeira posição da segunda linha dos coeficientes.

$1 | 1 -1-(-2)-(-1)-1\\1|1$

Aplicando Briot-Ruffini: 1 (da segunda linha dos coeficientes) · 1 (da raiz tomada como divisor) + 1 (da próxima posição da primeira linha dos coeficientes) = 2

$1 | 1 -1-(-2)-(-1)-1\\1|1-2$

Aplicando Briot-Ruffini: -2 (da segunda linha dos coeficientes) · 1 (da raiz tomada como divisor) + (-2) (da próxima posição da primeira linha dos coeficientes) = 0

$1 | 1 -1-(-2)-(-1)-1\\1|1-2-0$

Aplicando Briot-Ruffini: 0 (da segunda linha dos coeficientes) · 1 (da raiz tomada como divisor) + (-1) (da próxima posição da primeira linha dos coeficientes) = (-1)

$1 | 1 -1-(-2)-(-1)-1\\1|1-2-0-(-1)$

Aplicando Briot-Ruffini: (-1) (da segunda linha dos coeficientes) · 1 (da raiz tomada como divisor) + 1 (da próxima posição da primeira linha dos coeficientes) = 0

$1 | 1 -1-(-2)-(-1)-1\\1|1-2-0-(-1)-0$

Assim, a equação decomposta equivalente à equação dada será x³ + 2x² + 0x  - 1 = 0.

(II) Montando o alinhamento de Briot-Ruffini com o divisor (-1) e todos os coeficientes da equação de terceiro grau:

-1   |   1   2   0   -1

Iniciando a decomposição "abaixando" o 1 na primeira posição da segunda linha dos coeficientes.

$-1|1-2-0-(-1)\\-1|1$

Aplicando Briot-Ruffini: 1 (da segunda linha dos coeficientes) · (-1) (da raiz tomada como divisor) + 2 (da próxima posição da primeira linha dos coeficientes) = 1

$-1|1-2-0-(-1)\\-1|1-1$

Aplicando Briot-Ruffini: 1 (da segunda linha dos coeficientes) · (-1) (da raiz tomada como divisor) + 0 (da próxima posição da primeira linha dos coeficientes) = -1

$-1|1-2-0-(-1)\\-1|1-1-(-1)$

Aplicando Briot-Ruffini: (-1) (da segunda linha dos coeficientes) · (-1) (da raiz tomada como divisor) + (-1) (da próxima posição da primeira linha dos coeficientes) = 0

$-1|1-2-0-(-1)\\-1|1-1-(-1)-0$

Assim, a equação decomposta equivalente à equação dada será x² + x - 1 = 0

(III) Resolvendo a equação do segundo grau por Fórmula de Bháskara:

$x=\frac{-b^+_-\sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

$x=\frac{-1^+_-\sqrt{1^2-4(1)(-1)} }{2(1)}$

$x=\frac{-1^+_-\sqrt{1-(-4)} }{2}$

$x=\frac{-1^+_-\sqrt{5} }{2}$

∴ As raízes do polinômio são -1, 1,  $\frac{-1-\sqrt{5} }{2}$ e $\frac{-1+\sqrt{5} }{2}$.

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