Question

Quais os valores de p que tornam a matriz A = $\left[\begin{array}{ccc}p&6&p\\0&1&1\\1&4&p\end{array}\right]$ inversível?

Answer 1

Para que uma matriz seja inversível, seu determinante deve ser diferente de zero.

Sendo assim:

$A=\left[\begin{array}{ccc}p&6&p\\0&1&1\\1&4&p\end{array}\right]$

$\boxed{\exists A^{-1}\iff\ \det{A}\neq 0}$

$\det{A}\neq0\ \therefore\ \left|\begin{array}{ccc}p&6&p\\0&1&1\\1&4&p\end{array}\right|\neq0\ \therefore$

$p^2+6-p-4p\neq0\ \therefore\ \boxed{p^2-5p+6\neq0}$

Utilizando o Fórmula Quadrática de Brahmagupta, podemos encontrar os valores para os quais $p\neq 0$:

$p\neq\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \therefore\ p\neq\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4(1)6)}}{2(1)}\ \therefore$

$p\neq\dfrac{5\pm1}{2}\ \therefore\ \boxed{p\neq3}\ \text{e}\ \boxed{p\neq2}$

Dessa forma, os valores de $p$ que tornam $A$ inversível são todos os números reais exceto 2 e 3.

$\boxed{p=\left\{p\in\mathbb{R}\ |\ p\neq2,\ p\neq3 \right\}}$