Respostas
Lembrando do termo geral da P.A.: a(n) = a1 + (n - 1)r
Temos a(n) = 149 (último termo)
a1 = 9
r = 4 (razão = a2 - a1, por exemplo).
Queremos encontrar n, da fórmula acima.
Segue,
149 = 9 + (n - 1)4
149 = 5 + 4n
144 = 4n
n = 36
Portanto, são 36 termos nesta P.A.
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da P.A. (9, 13, 17, ..., 149), tem-se que:
a)trata-se de uma progressão aritmética (PA) finita, porque se sabe qual é o último termo, embora não se conheça a sua posição, a ordem em que ele se encontra na referida sequência;
b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 9
c)último termo (an): 195 (Chama-se último termo ou enésimo termo porque não se conhece a posição (a ordem) que ele ocupa na progressão.)
d)número de termos (n): ? (Embora não se saiba o seu valor, necessariamente se diz que será positivo e inteiro, porque não existe indicação de quantidade por meio de números negativos e de decimais.)
e)por meio da observação dos dois primeiros termos e do último da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer).
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 13 - 9 ⇒
r = 4 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o número de termos:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
149 = 9 + (n - 1) . (4) ⇒
149 = 9 + 4n - 4 ⇒
149 = 5 + 4n ⇒
149 - 5 = 4n ⇒
144 = 4n ⇒
144/4 = n ⇒
36 = n ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
n = 36
Resposta: O número de termos da P.A.(9, 13, 17, ..., 149) é 36.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo n = 36 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o número de termos realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
149 = a₁ + (36 - 1) . (4) ⇒
149 = a₁ + (35) . (4) ⇒ (Veja a Observação 2.)
149 = a₁ + 140 ⇒
149 - 140 = a₁ ⇒
9 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 9 (Provado que n = 36.)
Observação 2: Na parte destacada, foi aplicada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam em sinal de positivo (+).
→Veja outras tarefas relacionadas à determinação do número de termos em progressão aritmética e resolvidas por mim:
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