Question

Considere V=R4, espaço vetorial com operações usuais, e u=(2,1,0,1), v=(0,1,3,3), e w=(2,0,−1,0) elementos de V.

(a) Encontre W=[{u,v}], o subespaço vetorial gerado por u e v.

(b) Verifique se w∈W.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

2.....1.......0.......1

0.....1.......3.......3 ~

x.....y.......z.......w escalona essa matriz.

2.........1..........0.........1

0..........1.........3........3 ~

0...-2y+x......-2z......-2w+x

2.........1..........0.........1

0..........1.........3........3 ~

0...-2y+x......-2z......-2w+x

2.............1................0.........1

0.............1................3........3 ~

0.............0.....6y-3x -2z..6y-3x-2w+x

2.............1................0.........1

0.............1................3........3 ~

0.............0.....6y-3x -2z..6y-2x-2w

O posto de

2.....1.......0.......1

0.....1.......3.......3

é 2. Logo o posto de

2.............1................0.........1

0.............1................3........3 ~

0.............0.....6y-3x -2z..6y-2x-2w

também tem que ser 2. E para isso acontecer temos que ter:

{6y-3x -2z =0

{6y-2x-2w = 0, tirando a primeira da segunda fica:

____________

x -2w + 2z = 0

x = 2w - 2z

6y-3x -2z =0

6y-3(2w - 2z) -2z =0

6y - 6w +6z - 2z = 0

6y - 6w +4z = 0

y = (6w - 4z)/6

y = (3w - 2z)/3

Os vetores de V tem a forma (2w-2z, (3w - 2z)/3, z, w).

Logo W = {(2w-2z, (3w - 2z)/3, z, w)}.

w não pertence a W, pois quando fazemos [3.0 - 2.(-1)]/3 encontramos 2/3 e para pertencer tínhamos que ter encontrado y = 0, uma veze que w = (2,0,-1,0).