Question

Utilize os multiplicadores de LAGRANGE para determinar os máximos e mínimos de :
$\sf{f(x~,~y~,~z)~=~2x+6y+10z}$ Sujeita a restrição $\sf{x^2+y^2+z^2~=~35}$​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo multivariável.

Devemos determinar os máximo e mínimos da função de três variáveis $f(x,~y,~z)=2x+6y+10z$ sujeita à restrição $x^2+y^2+z^2=35$.

Primeiro, considere a restrição como a função $g(x,~y,~z)=x^2+y^2+z^2-35$.

Então, calculamos os gradientes das funções. Lembre-se que o vetor gradiente é aquele cujas componentes são as derivadas parciais da função: $\overrightarrow{\nabla}f=\left<\dfrac{\partial f}{\partial x},~\dfrac{\partial f}{\partial y},~\dfrac{\partial f}{\partial z}\right>$, podendo ser escrito em forma matricial $\overrightarrow{\nabla}f=\begin{bmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x}\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial z}\\\end{bmatrix}$.

Calculamos as derivadas parciais de $f$:

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(2x+6y+10z)=2\\\\\\\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(2x+6y+10z)=6\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(2x+6y+10z)=10$

Assim, o gradiente de $f$ é dado por: $\overrightarrow{\nabla}f=\begin{bmatrix}2\\6\\10\\\end{bmatrix}$

Calculamos as derivadas parciais de $g$:

$\dfrac{\partial g}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2+z^2-35)=2x\\\\\\\dfrac{\partial g}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2+z^2-35)=2y\\\\\\ \dfrac{\partial g}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(x^2+y^2+z^2-35)=2z$

Assim, o gradiente de $g$ é dado por: $\overrightarrow{\nabla}g=\begin{bmatrix}2x\\2y\\2z\\\end{bmatrix}$

Agora, resolvemos a seguinte equação matricial em função do multiplicador de Lagrange $\lambda$:

$\overrightarrow{\nabla}f=\lambda\cdot \overrightarrow{\nabla}g\\\\\\ \begin{bmatrix}2\\6\\10\\\end{bmatrix}=\lambda\cdot\begin{bmatrix}2x\\2y\\2z\\\end{bmatrix}$

Efetue a multiplicação do termo escalar

$\begin{bmatrix}2\\6\\10\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\lambda x\\2\lambda y\\2\lambda z\\\end{bmatrix}$

Igualamos os elementos respectivos das matrizes, de modo que tenhamos o seguinte sistema de equações lineares:

$\begin{cases}2=2\lambda x\\6=2\lambda y\\10=2\lambda z\\\end{cases}$

Divida ambos os lados das igualdades por um fator $2\lambda$

$\begin{cases}x=\dfrac{1}{\lambda}\\\\y=\dfrac{3}{\lambda}\\\\z=\dfrac{5}{\lambda}\\\end{cases}$

A função $f$ se torna:

$f(\lambda) =2\cdot \dfrac{1}{\lambda}+6\cdot\dfrac{3}{\lambda}+10\cdot\dfrac{5}{\lambda}\\\\\\ f(\lambda)=\dfrac{2}{\lambda}+\dfrac{18}{\lambda}+\dfrac{50}{\lambda}\\\\\\ f(\lambda)=\dfrac{70}{\lambda}$

Observe que a função é inversamente proporcional ao fator $\lambda$ e, portanto, terá seus pontos de máximo e mínimo quando os valores de $\lambda$ forem, respectivamente, iguais a $1$ e $-1$.

Logo, teremos:

$\max\{f\}=70$, quando $\lambda =1$ e $(x,~y,~z) =(1,~3,~5)$ e $\min\{f\}=-70$, quando $\lambda=-1$ e $(x,~y,~z) =(-1,\,-3,\,-5)$.