Question

Temos uma progressão aritmética de 20 termos onde o primeiro termo é igual a 5. A soma de todos os termos desta progressão é 480. O  décimo termo é igual a quanto? 

Answer 1

Existem duas fórmulas pra se calcular a soma dos n primeiros termos de uma PA:

$1: \ S_n=n.a_1+\frac{r.n(n-1)}{2} \\ \\ 2: \ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

Usarei a 2, para evitar números muito grandes. Temos que $a_1=5$ e n=20; também temos, pela fórmula do termo geral, que $a_{20}=a_1+19r$. Substituindo esses dados na fórmula temos:

$S_{20}=\frac{20(a_1+a_{20})}{2}\Rightarrow 480=\frac{20(5+5+19r)}{2} \Rightarrow 19r+10=48 \Rightarrow 19r=38 \\ \\ \boxed{r=2}$

Agora que temos o valor de r podemos calcular o décimo termo, pela fórmula do termo geral:

$a_n=a_1+r(n-1)\Rightarrow a_{10}=5+2.9 \Rightarrow a_{10}=5+18 \\ \\ \boxed{\boxed{a_{10}=23}}$

Answer 2

$\Large\boxed{\boxed{\boxed{{Ola\´\ }}}}}$

A₁ = 5

N = 20

S₂₀ = 480

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Sn = (a₁ + an) . n / 2

480 = (5 + an ) . 20/2

480 = 100 + 20an/2

2(480)  = 100 + 20an

960 = 100+ 20an

960 - 100 = 20an

860 = 20an

860/20 = an

43 = an

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A questão quer saber o 10º termo e para isso temos que encontrar primeiro a razão dessa progressão.

an = a1 + (n-1) .r

43 = 5 + (20-1) .r

43 = 5 + 20r - r

43 = 5 + 19r

43 - 5 = 19r

38 = 19r

38/19 = r

2 = r

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Agora vamos calcular o 10º termo.

a₁₀ = a₁ + 9r

a₁₀ = 5 + 9.2

a₁₀ = 5 + 18

a₁₀ = 23

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Portanto o 10º termo é igual a 23.

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Espero ter ajudado!