Question

Sejam A = (1, 4), B = (5, 8) e C = (3, 0) vértices de um triângulo no plano cartesiano. Determine:
a) as coordenadas do baricentro do triângulo ABC.
b) a medida da mediana relativa ao vértice A.
c) a área do triângulo ABC

Answer 1

A área do triângulo ABC é 12 u.a.

a) As coordenadas do baricentro do triângulo pode ser calculado pelas expressões:

xG = (xA + xB + xC)/3

yG = (yA + yB + yC)/3

Substituindo as coordenadas dos vértices, temos:

xG = (1 + 5 + 3)/3 = 9/3 = 3

yG = (4 + 8 + 0)/3 = 12/3 = 4

G = (3, 4)

b) A mediana relativa ao vértice A é o segmento AM, onde M é o ponto médio de BC. O ponto médio de AB é:

xM = (xB + xC)/2

yM = (yB + yC)/2

xM = (5 + 3)/2 = 8/2 = 4

yM = (8 + 0)/2 = 8/2 = 4

M = (4, 4)

A distância entre os pontos A e M é:

d(A,M)² = (xM - xA)² + (yM - yA)²

d(A,M)² = (4 - 1)² + (4 - 4)²

d(A,M)² = 3² + 0²

d(A,M)² = 9

d(A,M) = 3

c) A área do triângulo será dada pela equação:

A = (1/2)·|det(X)|

A matriz X será:

xA  yA  1

xB  yB  1

xC  yC  1

1  4  1

5 8  1

3 0  1

|det(X)| = |(1·8·1 + 4·1·3 + 1·5·0 - 3·8·1 - 0·1·1 - 1·5·4)|

|det(X)| = |(8 + 12 + 0 - 24 - 0 - 20)|

|det(X)| = |-24|

|det(X)| = 24

A = (1/2)·24

A = 12 u.a.