Question

08) . Determine a média aritmética das raízes da equação x²−(p−m)x+3p−4m=0​

Answer 1

Resposta:

(p-m)/2

Explicação passo-a-passo:

Seja um equação na forma ax² + bx + c = 0. Nesse caso, a soma S de suas raízes é dada por:

S = -b/a

Como uma equação de 2° grau tem duas raízes, sabe-se que a média aritmética M dessas raízes é dada por:

M = S/2 = -b/2a

Na equação dada x² - (p-m)x + 3p - 4m = 0 temos a = 1 e b = -(p - m)

Logo,

M = -[-(p-m)] / 2

M = (p - m)/2

Answer 2

✅ Após ter realizado todos os cálculos concluímos que a média aritmética das raízes é:

            $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf M_{a} = \frac{p - m}{2}\:\:\: }} \end{gathered} }$

Uma equação é do segundo grau (quadrática) se o grau máximo verificado dentre seus termos for "2".

A média aritmética "Ma" das raízes da equação do segundo grau pode ser expressa por:

1ª              $\large\displaystyle\begin{gathered}M_{a} = \frac{x' + x''}{2} \end{gathered}$

Observe que para utilizarmos a 1ª equação, faz-se necessário encontrar primeiramente as raízes.

Se:

                $\Large\begin{cases}x' = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2\cdot a}\\x'' = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2\cdot a} \end{cases}$

Então, temos:

2ª     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}M_{a} = \frac{\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2\cdot a} + \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2\cdot a} }{2} \end{gathered} }$

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{\frac{-b - \sqrt{\Delta} - b + \sqrt{\Delta}} {2\cdot a} }{2} \end{gathered} }$

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{\frac{- b - b}{2\cdot a} }{2} \end{gathered} }$

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{\frac{-2\cdot b}{2\cdot a} }{2} \end{gathered} }$

               $\large\displaystyle\begin{gathered}= -\frac{\!\diagup\!\!\!\!2\cdot b}{\!\diagup\!\!\!\!2\cdot a} \cdot \frac{1}{2} \end{gathered}$

                $\large\displaystyle\begin{gathered}= - \frac{b}{2\cdot a} \end{gathered}$

Portanto, para calcular a média aritmética das raízes da equação do segundo grau, sem precisar encontrar de fato as raízes, podemos utilizar a seguinte fórmula :

3ª        $\large\displaystyle\begin{gathered}M_{a} = -\frac{b}{2\cdot a} \end{gathered}$

Se a equação fornecida foi:

 $\large\displaystyle\begin{gathered}x^{2} - (p - m)x + 3p - 4m = 0 \end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

         $\large\begin{cases}a = 1\\b = -(p - m)\\c = 3p - 4m \end{cases}$

Substituindo os valores dos coeficientes na 3ª equação, temos:

        $\large\displaystyle\begin{gathered}M_{a} = -\frac{[-(p - m)]}{2\cdot1} \end{gathered}$

               $\large\displaystyle\begin{gathered}= -\frac{[-p + m]}{2} \end{gathered}$

               $\large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{p - m}{2} \end{gathered}$

✅ Portanto, a resolução encontrada foi:

         $\large\displaystyle\begin{gathered}M_{a} = \frac{p - m}{2} \end{gathered}$

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