Question

Calculando-se df/dt, para f(x,y) = 5xy + x2 – y2, x = t2 – 1 e y = t + 2, tem-se:

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo multivariável.

Seja a função $f(x,~y)=5xy+x^2-y^2$, em que $x=t^2-1$ e $y=t+2$. Devemos determinar $\dfrac{df}{dt}$.

Diferenciamos a função em respeito à variável $t$, aplicando a regra da cadeia:

$\dfrac{df}{dt}=\dfrac{\partial f}{\partial x}\cdot\dfrac{dx}{dt}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\cdot\dfrac{dy}{dt}$

Calculamos as derivadas parciais da função $f$:

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(5xy+x^2-y^2)=5y+2x\\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(5xy+x^2-y^2)=5x-2y$

Substituímos $x = t^2-1$ e $y=t+2$

$\dfrac{\partial f}{\partial x}(t)=5(t+2)+2(t^2-1)=5t+10+2t^2-2=2t^2+5t+8\\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(t)=5(t^2-1)-2(t+2)=5t^2-5-2t-4=5t^2-2t-9$

Calculamos as derivadas de $x$ e $y$ em respeito á variável $t$:

$\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{d}{dt}(t^2-1)=2t\\\\\\ \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{d}{dt}(t+2)=1$

Substituindo estes resultados, teremos:

$\dfrac{df}{dt}=(2t^2+5t+8)\cdot2t+(5t^2-2t-9)\cdot1$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\dfrac{df}{dt}=4t^3+10t^2+16t+5t^2-2t-9$

Some os termos semelhantes

$\dfrac{df}{dt}=4t^3+15t^2+14t-9~~\checkmark$

Este é o resultado que buscávamos.