Question

QUESTÃO DE GEOMETRIA DO NONO ANO

1. Num círculo, estão inscritos um quadrado e um triângulo equilátro. O perímetro do triangulo é 12raiz de 6. Calcule o perímetro do quadrado.

Answer 1

Triângulo equilátero = todos lados iguais 

Perímetro = 12√6 / 3 = 4√6

Cado lado do triângulo mede 4√6

A base do triângulo é a mesma medida da base do quadrado, logo:

Perímetro = 4 x lado

Perímetro = 4 x 4√6

Perímetro = 16√6

Espero ter ajudado!

Answer 2

O triângulo é equilátero. Daí, seu lado é 12√6 ÷ 3 = 4√6

A altura do triângulo equilátero é dada por h = L√3 ÷ 2 = 4√6·√3 ÷ 2  =

= 2√18 = 6√2

Mas, no triângulo inscrito, o raio é 2/3 da altura. Guarde esta informação.

Agora, a área do triângulo equilátero é dada por L²√3 ÷4 e também por L·h ÷2

Da primeira fórmula, temos 
Area = (4√6)²·√3 ÷ 4 = 24√3

Usamos esse valor agora na segunda fórmula:

24√3 = 4√6 · h ÷ 2 ⇒ 24√3 = 2√6 · h ⇒ h = 12√(3/6) ⇒ h = 12√(1/2) ⇒
⇒ h = (12√2)/2 ⇒ h = 6√2

Lembra que tínhamos o raio valendo 2/3 da altura? Pois bem, 

r = 2/3 * 6√2 = 4√2
No quadrado inscrito, o raio é metade da diagonal. Assim, 

diagonal = 2 · 4√2 = 8√2

Por Pitágoras, chega-se facilmente à relação diagonal = Lado · √2

Assim, 8√2 = Lado ·√2 ⇒ Lado = 8

Portanto, o perímetro do quadrado é 8 + 8 + 8 + 8 = 4 · 8 = 32.

Bons estudos!