Question

2. Sejam A e B matrizes quadradas n x ne In a matriz identidade de dimensão n.
(a) Mostre que se AB é inversível, então B também é inversível.
(b) Suponha agora que A, B e A+B são as três inversíveis. Mostre que In + AB-1 é inversível e que
A(A-1 + B-?)BA-'(I + BA-?)-1 = In.

Answer 1

a)

Uma matriz é inversível se e somente se o seu determinante é não-nulo, ou seja, dada uma matriz A ela é inversível se o det(A) ≠ 0.

Pela propridades do determinante temos que:

                                  $\Large\displaystyle\begin{aligned}\det\left(AB\right) = \det\left(A\right)\det\left(B\right)\end{aligned}$

Ou seja, se A ou B não for inversível, i.e. det = 0, o determinante da matriz AB também será zero, logo não inversível.

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\det(A) \text{ ou } \det(B) = 0 \Rightarrow \det\left(AB\right) = 0\end{aligned}$

Logicamente isso implica que se AB é inversível, automaticamente A e B são inversíveis.

b)

Novamente usando propriedade do determinante podemos mostrar que

                                                 $\Large\displaystyle\begin{aligned}I_n + AB^{-1}\end{aligned}$

é inversível. Aplicando a regra da soma dos determinantes e produto:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\det\left(I_n + AB^{-1}\right) = \det\left(I_n\right) + \det\left(AB^{-1}\right)\\ \\\det\left(I_n + AB^{-1}\right) = \det\left(I_n\right) + \det\left(A\right)\det\left(B^{-1}\right)\end{aligned}$

Como a matriz identidade tem determinante sempre igual a 1, e o enunciado diz que A é inversível, logo

                                                   $\Large\displaystyle\begin{aligned}I_n + AB^{-1}\end{aligned}$

é inversível.

b)

Agora temos que mostrar que aquela série de multiplicação é igual a matriz identidade, para isso vamos lembrar a distributiva de matrizes:

                                   $\Large\displaystyle\begin{aligned}A\left(B + C\right) = AB+AC\\ \\\left(B+C\right)A = BA + CA\end{aligned}$

Então temos que:

                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A\left(A^{-1} + B^{-1}\right)BA^{-1}\left(I_n+BA^{-1}\right)^{-1}\\ \\(\underbrace{AA^{-1}}_{In} + AB^{-1})BA^{-1}\left(I_n+BA^{-1}\right)^{-1}\\ \\\left(I_n + AB^{-1}\right)BA^{-1}\left(I_n+BA^{-1}\right)^{-1}\\ \\(I_nBA^{-1} + \underbrace{AB^{-1}BA^{-1}}_{I_n})\left(I_n+BA^{-1}\right)^{-1}\\ \\(BA^{-1} +I_n)\left(I_n+BA^{-1}\right)^{-1}\\ \\\end{gathered} }$

Embora não seja dificil ver, vou fazer uma simplificação para ajudar a visualiação, vou dizer que:

                                          $\Large\displaystyle\begin{aligned}C = I_n + BA^{-1}\end{aligned}$

Portanto

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\left(I_n + BA^{-1}\right)\left(I_n + BA^{-1}\right)^{-1}\xrightarrow{C = I_n + BA^{-1} }CC^{-1}\\ \\CC^{-1} = I_n\end{gathered} }$

Logo acabamos de provar que:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}A\left(A^{-1} + B^{-1}\right)BA^{-1}\left(I_n+BA^{-1}\right)^{-1} = I_n\end{gathered}$

Espero ter ajudado

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