Question

No instante t=0, a partícula A está localizada no ponto PA=(−3,0) e a partícula B está localizada no ponto PB=(0,0). A partícula A se move para a direita com a velocidade de 4 unidade(s) por segundo e a partícula B se move para cima com a velocidade de 7 unidade(s) por segundo. Em qual instante t (em segundos) a distância entre as partículas A e B será a menor possível?

Answer 1

Utilizando relação de distância entre dois pontos, velocidade média e maximos e minimos de funções, vemos que o instante em segundo onde a distância entre eles é menor é no segundo de 3/11 segundos.

Explicação passo-a-passo:

Então nos foi dado os pontos iniciais de A e B como sendo:

$P_A=(-3,0)$

$P_B=(0,0)$

Sabemos que se usarmos velocidade média para descrever o movimento destas particulas, temos que deslocamente é velocidade vezes o tempo, ou seja, a velocidade de A e B são respectivamente:

$V_A=(4,0)$

$V_B=(0,7)$

Pois A se move para a direita, e portanto positivo na coordenada x, e B se move para cima, e portanto positivo na coordenada y. Multiplicando as coordenadas da velocidade por 't', sendo este o tempo em segundos, temos a função do deslocamente:

$\Delta S_A=(4t,0)$

$\Delta S_B=(0,7t)$

E somando este deslocamente na posição inicial, temos o deslocamento total das particulas:

$S_A = P_A + \Delta S_A=(-3,0)+(4t,0)=(-3+4t,0)$

$S_B = P_B + \Delta S_B=(0,0)+(0,7t)=(0,7t)$

E agora tendo este deslocamento, podemos usar a formula de distância entre dois pontos:

$d= \sqrt{(y_2-y_1)^2-(x_2-x_1)^2}$

E fazendo isto com o nosso caso temos:

$d= \sqrt{(7t-0)^2-(0+3-4t)^2}$

$d = \sqrt{49t^2-16t^2-9+24t}$

$d = \sqrt{33t^2+24t-9}$

E assim vemos que está é uma função da distância entre os dois pontos que depende do tempo, assim para encontrarmos a menro distância, queremos então o ponto minimo desta função e para isto note que esta é uam raíz de uma funçã ode segundo grau, e o menor valor possível para ela existir é o de 0, ou seja, quando esta função de segundo grau no interior for 0, então teremos a menor distância:

$33t^2+24t-9=0$

Assim basta encontrarmos as duas raízes desta equação de segundo grau, que são:

$t_1=\frac{-(24)-\sqrt{24^2+4.9.33}}{2.33}=-1$

$t_2=\frac{-(24)+\sqrt{24^2+4.9.33}}{2.33}=\frac{3}{11}$

Como tempo negativo não nos interessa, o instante em segundo onde a distância entre eles é menor é no segundo de 3/11 segundos.