Question

Utilizando a Definição de Laplace, calcule o determinante dessa matriz de ordem 4, utilizando a 1ª linha, que já está em destaque.

Answer 1

De acordo com o Teorema de Laplace, o determinante de uma matriz A quadrada de ordem n é dado por:

$\boxed{\det{A_{n\times n}}=\sum{a_{ij}A_{ij}}}$

Onde os elementos $a_{ij}$ pertencem a uma linha ou coluna arbitrária. Além disso, $A_{ij}$ representa o cofator do elemento $a_{ij}$:

$\boxed{A_{ij}=(-1)^{i+j}D_{ij}}$

Onde $D_{ij}$ é o determinante do chamado menor complementar do elemento $a_{ij}$ (matriz quadrada resultante de ordem n-1 quando se exclui a linha e a coluna do elemento analisado).

No exercício, temos uma matriz $D$ quadrada de ordem 4, tal que:

$D=\left[\begin{array}{cccc}4&5&-3&0\\2&-1&3&1\\1&-3&2&1\\0&2&-2&5\end{array}\right]$

Ao escolhermos a primeira linha da matriz $D$, seu determinante será dado por:

$\det{D}=\sum\limits_{j=1}^{4}{a_{1j}A_{1j}}$

$\det{D}=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}+a_{14}A_{14}$

Os cofatores $A_{11}$, $A_{12}$, $A_{13}$ e $A_{14}$ serão:

$A_{11}=(-1)^{1+1}D_{11}\ \to\ A_{11}=\left|\begin{array}{ccc}-1&3&1\\-3&2&1\\2&-2&5\end{array}\right|\ \to\ A_{11}=41$

$A_{12}=(-1)^{1+2}D_{12}\ \to\ A_{12}=-\left|\begin{array}{ccc}2&3&1\\1&2&1\\0&-2&5\end{array}\right|\ \to\ A_{12}=-7$

$A_{13}=(-1)^{1+3}D_{13}\ \to\ A_{13}=\left|\begin{array}{ccc}2&-1&1\\1&-3&1\\0&2&5\end{array}\right|\ \to\ A_{13}=-27$

$A_{14}=(-1)^{1+4}D_{14}\ \to\ A_{14}=-\left|\begin{array}{ccc}2&-1&3\\1&-3&2\\0&2&-2\end{array}\right|\ \to\ A_{14}=-8$

Dessa forma, o determinante de $D$ será:

$\det{D}=(4)(41)+(5)(-7)+(-3)(-27)+(0)(-8)$

$\boxed{\det{D}=210}$