Question

3) (FAAP-SP) Determine a solução da equação​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Equação Logarítmica :

• Dada à equação :

$\boxed{ \sf{ \log_{x} 2~*~\log_{\frac{x}{16}}2 ~=~\log_{\frac{x}{64}} 2 } }$

• Para solucionar a questão aplicar algumas propriedades dos logaritmos estudados . tais como a mudança de base .

$~~~~~~~\boxed{\sf{ \log_{b}a~=~\dfrac{\log_{c}a}{\log_{c}b} } }$

• Desfrutando desta propriedade vamos simplesmente colocar todas nossas expressões logarítmicas na base "2" :

$\iff \sf{ \dfrac{\log_{2}2}{\log_{2}x}~*~\dfrac{\log_{2}2}{\log_{2}\frac{x}{16}} ~=~ \frac{\log_{2}2}{\log_{2}\frac{x}{64}} }$

• Sabe-se que: $\boxed{\sf{\log_{a}a~=~1}}$ , então :

$\iff \sf{ \dfrac{1}{\log_{2}x} * \dfrac{1}{\log_{2}\frac{x}{16}}~=~\dfrac{1}{\log_{2}\frac{x}{64}} }$

• Temos outra terceira propriedade que diz " a diferença dos logarítmica é igual ao logaritmo da razão entre os logaritmandos :

$~~~~~~~\boxed{\sf{ \log a - \log b ~=~\log \frac{a}{b} } }$ Aplicação :

$\iff \sf{ \dfrac{1}{\log_{2}x} * \dfrac{1}{\log_{2}x - \log_{2}16} ~=~ \dfrac{1}{\log_{2}x - \log_{x}64} }$

$\iff \sf{ \dfrac{1}{\log_{2}x} * \dfrac{1}{\log_{2}x - 4} ~=~\dfrac{1}{\log_{2}x- 6} }$

$\iff \sf{ \dfrac{1}{\Big( \log_{2}x\Big)*\Big(\log_{2}x-4\Big)}~=~\dfrac{1}{\log_{2}x-6} }$

$\iff \sf{ \log_{2}x - 6 ~=~ \log_{2}x \Big( \log_{2}x - 4\Big) }$

$\iff \sf{ \log_{2}x - 6 ~=~ \log^2_{2}x - 4\log_{2}x }$

$\iff \red{\sf{ \log^2_{2}x - 5\log_{2}x + 6~=~ 0}}$

• Vamos usar a fatoração para resolver a equação do segundo grau acima :

$\iff \sf{ \log^2_{2}x -2 \log_{2}x - 3\log_{2}x + 6~=~0 }$

$\iff \sf{ \log_{2}x\Big(\log_{2}x - 2\Big) - 3\Big(\log_{2}x - 2\Big)~=~ 0 }$

$\iff \sf{ \Big(\log_{2}x - 3\Big)\Big(\log_{2}x - 2\Big)~=~0 }$

$\iff \sf{\log_{2}x ~=~2~\vee ~\log_{2}x~=~3}$

$\begin{cases} \sf{ x~=~2^2 } \\ \\ \sf{ x~=~2^3} \end{cases}~\Longrightarrow~\begin{cases}\sf{x~=~4} \\ \\ \sf{x~=~8} \end{cases}$

$\green{ \iff \boxed{\boxed{\sf{ Sol:\left\{ 4~;~8\right\} } \sf{ \longleftarrow RESPOSTA } \checkmark } } }$

ESPERO TER AJUDADO BASTANTE=)

Answer 2

• Os valores de x que satisfazem essa equação são 4 e 8.

Para resolver sua questão, temos um truque muito top. Ao invés de aplicar a mudança de base e tals, podemos fazer essa mudança diretão. Sabendo que

$\large\displaystyle\begin{aligned} \frac{1}{\log_a b} = \log _b a \end{aligned}$. Aplicando na sua questão, temos:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \log_x (2) \cdot \log _{\frac{x}{16}}(2) = \log _{\frac{x}{64}} (2) \end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \frac{1}{\log_2 (x)} \cdot \frac{1}{\log _{2}\left(\frac{x}{16}\right)} = \frac{1}{\log _{2} \left( \frac{x}{64} \right)}\end{aligned} }$

Aplique agora, a propriedade da divisão dos logs $\large\displaystyle\begin{aligned} \left[ \log_a\left( \frac{b}{c} \right) = \log_a b - \log_a c\right]\end{aligned}$ no denominador.

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \frac{1}{\log_2 (x)} \cdot \frac{1}{\log _{2}\left(\frac{x}{16}\right)} = \frac{1}{\log _{2} \left( \frac{x}{64} \right)}\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \frac{1}{\log_2 (x)} \cdot \frac{1}{\log _{2}(x) - \log_2(16)} = \frac{1}{\log _{2} (x) - \log_2 (64)}\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \frac{1}{\log_2 (x)} \cdot \frac{1}{\log _{2}(x) - 4} = \frac{1}{\log _{2} (x) - 6}\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \frac{1}{[\log_2(x)]\cdot [\log _{2}(x) - 4]} = \frac{1}{\log _{2} (x) - 6}\end{aligned} }$

• Multiplicando cruzado:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \frac{1}{[\log_2(x)]\cdot [\log _{2}(x) - 4]} = \frac{1}{\log _{2} (x) - 6}\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \log_2(x)\cdot [\log_2(x) - 4]= \log_2(x)-6\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \log_2(x) \cdot \log_2(x) -4\cod \log_2(x) = \log_2(x) - 6\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \log^2_2(x) -4\cod \log_2(x) = \log_2(x) - 6\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \log^2_2(x) = \log_2(x) - 6+4 \log_2(x)\end{aligned}$

Para facilitar, chame o log2(x) de seila, uma letra qualquer. Irei utilizar a letra S para ficar mais topzera. =)

$\large\displaystyle\begin{aligned} \log^2_2(x) = \log_2(x) - 6+ 4\log_2(x)\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} S^2 = S - 6 + 4S\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} S^2-5S +6 = 0\end{aligned}$

Resolvendo essa equação do segundo grau simples, temos que S' = 2 e S'' = 3. Ficando então:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \begin{cases}\log_2(x) = 2\\ \log_2(x) = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x'=2^2\\ x''=2^3\end{cases}\end{aligned}$

Portanto, sua resposta será o conjunto solução; $\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \therefore \boxed{\boxed{\green{\boldsymbol{S=\left\{ 4 \ ; \ 8\right\}}}}}\end{aligned} }$.

Veja mais sobre:

Logaritmos.

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