Question

Sendo n um número natural, quando que n⁴+4 é primo?​

Answer 1

Resposta: Somente quando n=1.

Explicação passo-a-passo:

Utilizando fatoração por trinômio quadrado perfeito e diferença de quadrados.

$n^4+4\\\\n^4+4+4n^2-4n^2\\\\(n^2+2)^2 -4n^2\\\\(n^2+2)^2 -(2n)^2\\\\(n^2 + 2 - 2n)(n^2 + 2 + 2n)$

Observe que a expressão dada foi fatorada, ou seja, escrita como um produto de duas expressões.

Agora observe que se eu suponho que n=1, a expressão vira

$(1^2 + 2 - 2*1)(1^2 + 2 + 2*1) = 1*5=5$

que tem como resultado um número primo.

Para qualquer outro valor de n, teremos um produto de dois número maiores do que 1, ou seja, o resultado jamais será primo.

Veja um exemplo, para n=3.

$(3^2 + 2 - 2*3)(3^2 + 2 + 2*3) = 5*17=85$

85 divide por 5 e por 17, além de dividir por 1 e por 85. Portanto, não é primo.

Sendo assim, só serve n=1.

Answer 2

Resposta:

Quando $\boxed{n = 1}$

Explicação passo-a-passo:

• Thalita, você precisa (primeiramente) saber que qualquer número ímpar elevado à quarta potência tem o último dígito $1$. Se você adicionar o outro $4$ obterá um número com o último dígito 5, e dos números com o último dígito 5, apenas o próprio 5 é primo, portanto $n^4 + 4 = 5$ é o único primo. Ou seja, apenas $n = 1$ sai certinho.

• Agora, se n for par então $n^4 + 4$ também será par e muitas vezes maior que 2, destarte, esse número não será primo.

Abaixo você tem a identidade de Sophie Germain (que aprendi recentemente)

$a^4 + 4b^4 = (a^2 - 2ab + 2b^2)(a^2 + 2ab + 2b^2)$

Thalita, se você não estiver familiarizada com essa forma, você pode recorrer a manipulações algébricas que sai direitinho, saca só,

$\iff n^4 + 4 = n^4 \red{+4n^4} + 4 \red{-4n^4}$

$\iff n^4 + 4 = (n^2 + 2)^2 - (2n)^2$

(diferença de quadrados)

$\iff n^4 + 4 = (n^2 -2n + 2)(n^2 + 2n + 2)$

Portanto, a expressão dada é o produto de dois números inteiros, maiores que 1 (isso você pode verificar facilmente). Você pode querer dar uma olhada nessa identidade de Sophie-Germaine (uma das poucas coisas em matemática com o nome de uma mulher, rsrs), ela afirma que $n^4 + 4^n$ nunca será primo para $n \geqslant 2$, espero ter ajudado, @Tate, hugs :)