Question

Encontre (se existir) a matriz inversa da matriz A=(2 3)
(1 4)
Em seguida encontre o determinante das matrizes A e A^-1​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre matrizes.

Seja a matriz $A=\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\\\end{matrix}\right)$. Devemos encontrar, se existir, sua matriz inversa e os determinantes das matrizes $A$ e $A^{-1}$.

Primeiro, devemos calcular o determinante da matriz $A$ para verificar sua invertibilidade: este determinante deve ser diferente de zero.

Assim, teremos:

$\det(A)=\begin{vmatrix}2&3\\1&4\\\end{vmatrix}$

Para calcular o determinante de uma matriz de ordem $2$, calcula-se a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Logo, teremos:

$\det(A)=2\cdot4-3\cdot1$

Multiplique e some os valores

$\det(A)=8-3\\\\\\ \det(A)=5$

Com isso, conclui-se que a matriz é invertível.

Então, lembre-se que a matriz inversa de uma matriz genérica de ordem $2$: $B=\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}\right)$, $\det(B)\neq0$ pode ser encontrada utilizando a fórmula: $B^{-1}=\dfrac{1}{\det(B)}\cdot\left(\begin{matrix}d&-b\\-c&a\\\end{matrix}\right)$.

Assim, fazemos:

$A^{-1}=\dfrac{1}{5}\cdot\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&2\\\end{matrix}\right)$

Efetue a multiplicação do termo escalar pela matriz, lembrando que $k\cdot\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k\cdot a&k\cdot b\\k\cdot c&k\cdot d\\\end{matrix}\right)$

$A^{-1}=\left(\begin{matrix}\dfrac{4}{5}&-\dfrac{3}{5}\\\\-\dfrac{1}{5}&\dfrac{2}{5}\\\end{matrix}\right)$

Por fim, lembre-se que o determinante de uma matriz inversa é igual ao inverso do determinante da matriz original, isto é: $\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}$, logo teremos:

$\det(A^{-1})=\dfrac{1}{5}~~\checkmark$

Estes são os resultados que buscávamos.