Question

uma arvore foi transplantada e apos x anos, está crescendo a uma taxa de h' (x) = 0,5 + 1 / ( x+1)²

Answer 1

A altura que a árvore cresce em um determinado período será dada por:

$\boxed{H=\int\limits^{x_2}_{x_1}{h'(x)\mathrm{d}x}}$

Queremos saber o quanto a árvore cresce no segundo ano, i.e., do fim do ano 1 ao término do ano 2. Logo, sabemos que $x_1=1$ e $x_2=2$. Além disso, temos que:

$h'(x)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{(x+1)^2}$

Dessa forma:

$H=\int\limits_{1}^{2}{\bigg(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{(x+1)^2}\bigg)\mathrm{d}x}\ \therefore$

$H=\bigg(\dfrac{1}{2}\int{\mathrm{d}x}+\int{\dfrac{1}{(x+1)^2}\mathrm{d}x}\bigg)\bigg|^2_1$

Podemos fazer a substituição $u=x+1\ \to\ \mathrm{d}x=\mathrm{d}u$. Logo:

$H=\bigg(\dfrac{x}{2}+\int{u^{-2}\mathrm{d}u}\bigg)\bigg|^2_1\ \therefore$

$H=\bigg(\dfrac{x}{2}+\dfrac{u^{-1}}{(-1)}\bigg)\bigg|^2_1=\bigg(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{u}\bigg)\bigg|^2_1\ \therefore$

$H=\bigg(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{x+1}\bigg)\bigg|^2_1$

$H=\dfrac{2}{2}-\dfrac{1}{3}-\bigg(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\bigg)\ \therefore$

$\boxed{H=\dfrac{2}{3}\approx0.66}$

Letra E.