Question

aplicando método de derivação implícita encontre Y da curva definida por x3 + xy - y2 =0​

Answer 1

Temos que a derivada implícita da curva é dada por:

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2+y}{x - 2y}\end{gathered}$

Para aplicar o método da derivação implícita, temos que a variável y é um função de x, pois y = f(x), logo temos que aplicar a regra da cadeia toda vez que formos derivar a parte do y, ou seja:

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}y = f(x) \\ \\\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}f(x) = f'(x)\end{gathered}$

Então se tivermos y composta com outra função g(x), temos:

                                   $\Large\displaystyle\begin{aligned}g(y) &\Rightarrow g(f(x)) \\ \\g'(y) &= f'(x)g'(f(x))\end{aligned}$

Portanto, para a expressão:

                                     $\Large\displaystyle\begin{aligned}x^3 + xy - y^2 = 0\end{aligned}$

Teremos (derive tudo em relação a x):

                            $\Large\displaystyle\begin{aligned}3x^2 + \frac{dy}{dx}x + y - \frac{dy}{dx}2y = 0\end{aligned}$

Note que isso vem da regra da cadeia pois:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}y &= f(x)\\ \\y^2 &= g(f(x)) \Rightarrow g(x) = x^2\quad \text{ aplicando a derivada}\\ \\ &= f'(x)g'(f(x))\\ \\ &= \frac{dy}{dx}2y\end{aligned}$

Portanto, agora basta isolar dy/dx na expressão:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}3x^2 + \frac{dy}{dx}x + y - \frac{dy}{dx}2y = 0\\ \\ \frac{dy}{dx}x - \frac{dy}{dx}2y = -3x^2 + y\\ \\ \frac{dy}{dx}[x - 2y] = -3x^2 + y\\ \\ \frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2+y}{x - 2y}\end{gathered}$

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários.

Gráfico da curva em anexo

Veja mais sobre em:

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