Question

A relação fundamental da trigonometria relaciona duas funções trigonométricas bastante conhecidas: a função seno e a função cosseno. Essa relação é útil em diversos problemas de Álgebra que envolva qualquer uma das funções trigonométricas, seja ela a seno, cosseno ou tangente.
Arelaçãoésimples,dadaporsen2 x+cos2 x=1,sendoxo ângulo em questão.
De modo a atender a relação apresentada, determine o (s) valor (es) de uma constante k, sabendo que sen x = 5k – 1 e cos x = k, com k .

Answer 1

$\sin{x}=5k-1$

$\cos{x}=k$

$k\in\mathbb{R}$

$\boxed{\sin^2{x}+\cos^2{x}=1}$

$(5k-1)^2+(k)^2=1$

$25k^2-10k+1+k^2=1$

$26k^2-10k=0$

$2k(13k-5)=0$

$\text{Caso}\ (i\text{):}$

$(i)\ 2k=0\ \to\ \boxed{k=0}$

$\sin{x}=-1,\ \cos{x}=0\ \to\ \boxed{x=\dfrac{3\pi}{2}}$

$\text{Caso}\ (ii\text{):}$

$13k-5=0\ \to\ \boxed{k=\dfrac{5}{13}}$

$\sin{x}=\dfrac{12}{13},\ \cos{x}=\dfrac{5}{13}\ \to\ \boxed{x\approx1.176}$

$\mathrm{Solu\c{c}\tilde{a}}\text{o:}$

$\boxed{k=\left\{0,\dfrac{5}{13}\right\}}$