Question

resolva a equação trigonométrica apresentada a seguir, em [0; 2[: 2 sen x2=1 + cos x

Answer 1

Sabemos que:

$\boxed{\sin^2{x}+\cos^2{x}=1}$

Logo:

$\sin^2{x}=1-\cos^2{x}$

Dessa forma, poderemos manipular os termos da equação:

$2\sin^2{x}=1+\cos{x}\ \to\ 2(1-\cos^2{x})=1+\cos{x}\ \to$

$2-2\cos^2{x}=1+\cos{x}\ \to\ \boxed{2\cos^2{x}+\cos{x}-1=0}$

Obtemos uma equação quadrática para a variável $\cos{x}$, na qual os coeficientes são $a=2$, $b=1$ e $c=-1$.

Podemos resolvê-la através da fórmula quadrática:

$\cos{x}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \to\ \cos{x}=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4(2)(-1)}}{2(2)}\ \to$

$\cos{x}=\dfrac{-1\pm3}{4}\ \to\ \boxed{\cos{x}=-1}\ \text{ou}\ \boxed{\cos{x}=\dfrac{1}{2}}$

Resolvendo para $x\in[0,2\pi[$, teremos que:

$\cos{x}=-1\ \to\ x=\arccos{(-1)}\ \to\ \boxed{x=\pi}$

$\cos{x}=\dfrac{1}{2}\ \to\ x=\arccos{\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)}\ \to\ \boxed{x=\dfrac{\pi}{3}}\ \text{ou}\ \boxed{x=\dfrac{5\pi}{3}}$

O conjunto solução para $x$ com  $x\in[0,2\pi[$ será:

$\boxed{x=\left\{\dfrac{\pi}{3},\pi,\dfrac{5\pi}{3}\right\}}$