Question

Seja ƒ a função definida abaixo:

$f(x) = \left\{\begin{array}{ll}2x - 1 \text{ se } \ x\ne \text{2}}\\1 \text{ se x=2}\end{array}\right$

$a) \text{Encontre}\ \lim_{x\rightarrow 2} f(x)} \text{e verifque que}\ \lim_{x\rightarrow 2} f(x)} \ne \text{f(2)}$

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de limites.

Seja $f$ a função definida por partes:

$f(x)=\begin{cases}2x-1,~se~x\neq2\\1,~se~x=2\\\end{cases}$

Devemos encontrar $\underset{x\rightarrow 2}{\lim}~f(x)$ e verificar que $\underset{x\rightarrow 2}{\lim}~f(x)\neq f(2)$.

Primeiro, observe que quando $x=2$, a função assume o valor $1$. Isto mostra que $f(2)=1$.

Então, devemos calcular os limites laterais da função:

Quando $x\rightarrow2^+$, isto é, se aproxima de $2$ pela esquerda e, portanto, por valores maiores e infinitesimalmente próximos de $2$

$\underset{x\rightarrow 2^+}{\lim}~f(x)=\underset{x\rightarrow 2^+}{\lim}~2x-1$

Calculando o limite da função polinomial, temos:

$\underset{x\rightarrow 2^+}{\lim}~f(x)=2\cdot2-1$

Multiplique e some os valores

$\underset{x\rightarrow 2^+}{\lim}~f(x)=4-1\\\\\\ \underset{x\rightarrow 2^+}{\lim}~f(x)=3$

Agora, calculamos o limite da função quando $x\rightarrow 2^-$, isto é, se aproxima de $2$ pela esquerda e, portanto, por valores menores e infinitesimalmente próximos de $2$

$\underset{x\rightarrow 2^-}{\lim}~f(x)=\underset{x\rightarrow 2^-}{\lim}~2x-1$

Calcule o limite da função polinomial

$\underset{x\rightarrow 2^-}{\lim}~f(x)=2\cdot2-1$

Multiplique e some os valores

$\underset{x\rightarrow 2^-}{\lim}~f(x)=4-1\\\\\\ \underset{x\rightarrow 2^-}{\lim}~f(x)=3$

Visto que os limites laterais $\underset{x\rightarrow 2^+}{\lim}~f(x)=\underset{x\rightarrow 2^-}{\lim}~f(x)=3$, conclui-se que o limite $\underset{x\rightarrow 2}{\lim}~f(x)=3$.

Porém, de acordo com a definição da função, $f(2)=1$ e com isso se verifica que $\underset{x\rightarrow 2}{\lim}~f(x)\neq f(2)$.

Observe na imagem em anexo que a função é, portanto, descontínua em $\bold{x=2}$.