Question

determine X em cada um dos casos

PA ( x, 3x-1, 2x+1)

PG (x, x+3, 2x +14)

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para determinar o valor de "x" em cada um dos casos.


a) A sequência abaixo é uma PA. Determine "x":

(x; 3x-1; 2x+1)

Veja: em qualquer PA, a razão (r) é constante e é encontrada com a subtração de cada termo antecedente do seu respectivo consequente. Assim, para que a sequência acima seja uma PA, deveremos ter isto:

2x+1 - (3x-1) = 3x-1 - (x) ---- retirando-se os parênteses, ficaremos:
2x + 1 - 3x + 1 = 3x - 1 - x ---- reduzindo os termos semelhantes em cada membro, ficaremos com:

-x + 2 = 2x - 1 ----- passando tudo o que tem "x" para o 1º membro e o que não tem para o 2º, ficaremos assim:

-x - 2x = - 1 - 2
- 3x = - 3 ---- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos;
3x = 3
x = 3/3
x = 1 <---- Este deverá ser o valor de "x" para a PA. Então esta é a resposta da questão do item "a".

Agora, apenas por curiosidade, vamos ver qual será essa PA com os seus três termos. Para isso, basta que substituamos o "x" por "1". Assim:

(x; 3x-1; 2x+1) = (1; 3*1-1; 2*1+1) = (1; 3-1; 2+1) = (1; 2; 3) <--- Esta é a PA, com os seus três termos, valendo notar que a razão (r) é igual a "1", pois: 3-2 = 2-1 = 1. 


b) A sequência abaixo é uma PG. Determine "x".

(x; x+3; 2x+14)

Veja: em qualquer PG, a razão "q" é constante e é encontrada pela divisão de cada termo consequente pelo seu respectivo antecedente.
Então, para que a sequência acima seja uma PG, deveremos ter isto:

(2x+14)/(x+3) = (x+3)/x ----- multiplicando em cruz, teremos:
x*(2x+14) = (x+3)*(x+3) ---- desenvolvendo, teremos:
2x² + 14x = x² + 6x + 9 ----- passando todo o 2º membro para o 1º, temos:
2x² + 14x - x² - 6x - 9 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
x² + 8x - 9 = 0 ------ aplicando Bháskara, encontraremos as seguintes raízes:

x' = - 9
x'' = 1

Assim, como você vê, "x" poderá ser:

x = - 9; ou x = 1 <--- Esta é a resposta para a PG. Ou seja, é a resposta para a questão do item "b".


Bem, também por curiosidade, vamos ver quais seriam essas PGs, quando substituirmos o "x" por "-9" e depois por "1".
Teremos isto:

b.i) Para x = - 9, teremos para a PG, com os seus 3 termos:

(x; x+3; 2x+14) = (-9; -9+3; 2*(-9)+14) = (-9; -6; -18+14) = (-9; -6; -4) <---- Esta seria a PG se "x" for igual a "-9", com razão (q) igual a "2/3", pois:
-4/-6 = -6/-9 = 2/3.

b.ii) para x = 1, teremos para a PG, com os seus 3 termos:

(x; x+3; 2x+14) = (1; 1+3; 2*1+14) = (1; 4; 2+14) = (1; 4; 16) <--- Esta seria a PG se x = 1, com razão (q) igual a "4", pois: 16/4 = 4/1 = 4.


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

a) PA:

r = a2 - a1
r = a3 - a2

a2 - a1 = a3 - a2

x - (3x - 1) = 2x + 1 - (3x - 1)
x - 3x + 1 = 2x + 1 - 3x + 1
x = 2x + 1
- 1 = 2x - x
- 1 = x
x = - 1

R.: x = - 1
----------------------------------------------------
b)    
q = a2/a1
q = a3/a2

a2         a3
----   =  ----
a1         a2

x + 3        2x + 14
-------  =  ------------
   x             x + 3


(x + 3).(x + 3) = x.(2x + 14)
x² + 3x + 3x + 9 = 2x² + 14x
x² + 6x + 9 = 2x² + 14x
x² - 2x² + 6x - 14x + 9 = 0
- x² - 8x + 9 = 0 ( - 1)
x² + 8x - 9 = 0

a = 1; b = 8; c = - 9

Δ = b² - 4ac
Δ = 8² - 4.1.(-9)
Δ = 64 + 36
Δ = 100

x = - 8 + 10
      -----------  = 2/2 = 1
           2

x = - 8 - 10
      ----------  =  - 18/2 = - 9
            2 

x = 1

x = 1 
x + 3 = 1 + 3 = 4
2x + 14 = 2.1 + 14 = 2 + 14 = 16

PG: (1,4,16)

x = - 9
x + 3 = - 9 + 3 = - 6
2x + 14 = 2.(-9) + 14 = - 18 + 14 = - 4  

- 6 (:3)       - 2          2
----        =  ------  =  ----
- 9 (:3)       - 3           3

- 4    (:2)       - 2          2
----           = ------  =  ----
- 6    (:2)       - 3          3


Resp.: x = 1 e x = - 9
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