Question

Vamos decompor o numero 12 em duas partes, de tal modo que o quadraro da maior parte, menos o quintuplo da menor resulte em 66.

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para dividir o número "12" em duas partes, tais que: o quadrado da maior parte MENOS o quíntuplo da menor parte resulte em 66.

Vamos por parte e vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
Chamaremos a maior parte de "x" e a menor parte de "y".


i) Como as duas partes deverão somar "12", então teremos que:

x + y = 12        . (I)


ii) Como o quadrado da maior parte (que é "x") menos o quíntuplo da menor parte (que é "y") é igual a "66", então você faz isto:

x² - 5*y = 66 --- ou apenas:
x² - 5y = 66    . (II)


iii) Agora vamos fazer o seguinte: multiplicaremos a expressão (I) por "5" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (II).
Assim, faremos:

5x + 5y = 60 ---- [esta é a expressão (I) multiplicada por "5"]
x² - 5y = 66 ------ [esta é a expressão (II) normal]
------------------------ somando membro a membro, temos:
5x+x²+0 = 126 ---- ou apenas:
x² + 5x = 126 ---- passando "126" para o primeiro membro, teremos:
x² + 5x - 126 = 0 ---- aplicando Bháskara, encontraremos as seguintes raízes:

x' = - 14
x'' = 9

Como você vê aí em cima, temos que "x" poderá ser: x' = -14; e x'' = 9.


iv) Agora vamos encontrar o valor de "y" para x = - 14 e para x = 9.
Para isso, vamos na expressão (I), que é esta:

x + y = 12

iv.1) Substituindo "x" por "-14", teremos:

-14 + y = 12
y = 12 + 14
y = 26

iv.2) Substituindo "x" por "9", teremos:

9 + y = 12
y = 12 - 9
y = 3

iv.3) Agora note uma coisa: já havíamos informado que "x" seria o número maior e "y" seria o número menor.
Ora, como para x = - 14 encontramos y = 26, então a raiz x = - 14 será descartada, pois aí iríamos ter "y" maior do que "x" e, conforme o nosso "entendimento" inicial, havíamos considerado que "x" seria o maior número e "y" o menor número. 

Assim, resta a outra solução para x = 9, que nos dá y = 3.
Dessa forma, esses dois números serão:

x = 9; e y = 3 <---- Esta é a resposta.

Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.