Question

"calcule o valor de k de modo que a função f(x)= 4x² - 4x - k não tenha raízes, isto é, o gráfico da parábola não possui ponto em comum com o eixo x."

Answer 1

f(x) = 4x² - 4x - k

Para que não existam raízes reais, temos que Δ < 0

Δ = (-4)² - 4(4)(-k)
Δ = 16 + 16k

16K + 16 < 0
16k < -16
k < -16/16
K < -1

Para que não existam raízes reais, o valor de k deve ser menor que -1

Espero ter ajudado

Answer 2

✅ Após de resolver os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro "k" que deixa a função quadrática sem raízes reais é:

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf k < -1\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função do segundo grau:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = 4x^{2} - 4x - k\end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

                         $\Large\begin{cases} a = 4\\b = -4\\c = -k\end{cases}$

Para que o gráfico da referida função não possua pontos comuns ao eixo das abscissas, isto é, não possuas raízes reais, o valor de seu discriminante - delta - deve ser menor que "0". Então, temos:

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \Delta < 0\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} b^{2} - 4ac < 0\end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} (-4)^{2} - 4\cdot4\cdot(-k) < 0\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} 16 + 16k < 0\end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} 16k < -16\end{gathered}$

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} k < -\frac{16}{16}\end{gathered}$

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} k < -1\end{gathered}$

✅ Portanto, o valor do parâmetro "k" é:

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} k < -1\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$