Question

limite de x quando tende a zero de (1-cosx)/(x senx)

Answer 1

$\lim_{x \to 0} \ \frac{1-cos(x)}{x.sen(x)}$


Multiplicando pelo conjugado do numerador:

$\lim_{x \to 0} \ \frac{1-cos(x)}{x.sen(x)} \ . \ \frac{1+cos(x)}{1+cos(x)}$

$\lim_{x \to 0} \ \frac{(1-cos(x)) \ . \ (1+cos(x))}{(x.sen(x)) \ . \ (1+cos(x))}$

$\lim_{x \to 0} \ \frac{(1-cos^2(x))}{(x.sen(x)) \ . \ (1+cos(x))}$


Da Trigonometria, temos a seguinte identidade trigonométrica:

sen²(x) + cos²(x) = 1
sen²(x) = 1 - cos²(x)


Substituindo:

$\lim_{x \to 0} \ \frac{sen^2(x)}{(x.sen(x)) \ . \ (1+cos(x))}$


Simplificando:

$\lim_{x \to 0} \ \frac{\not{sen^2(x)}}{(x.\not{sen(x)}) \ . \ (1+cos(x))}$

$\lim_{x \to 0} \ \frac{sen(x)}{x \ . \ (1+cos(x))}$


Aplicando a propriedade do produto:

$\lim_{x \to 0} \ \frac{sen(x)}{x} \ . \ \lim_{x \to 0} \ \frac{1}{1+cos(x)}$


Aplicando o limite fundamental trigonométrico:

$\lim_{x \to 0} \ \frac{sen(x)}{x} \ = \ 1$


Logo:

1 . $\lim_{x \to 0} \ \frac{1}{1+cos(x)}$


Aplicando o limite:

1 . $\frac{1}{1+cos(0)}$

1 . $\frac{1}{1+1}$

1 . $\frac{1}{2}$  = $\frac{1}{2}$


Portanto:

$\boxed{\bold{\lim_{x \to 0} \ \frac{1-cos(x)}{x.sen(x)} \ = \ \frac{1}{2}}}$

Answer 2

Oi 

Utilizando o Limite fundamental trigonométrico   

$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{sen(x)}{x} = 1 }$

$\lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{xsen(x)} \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{xsen(x)} . \frac{1+cos(x)}{1+cos(x)} \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{1^2-cos^2(x)}{xsen(x)} . \frac{1}{1+cos(x)} \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{sen^2(x)}{xsen(x)} . \frac{1}{1+cos(x)} \\ \\ \lim_{x \to 0} \boxed{ \frac{sen(x)}{x)}} . \frac{1}{1+cos(x)} \\ \\ \lim_{x \to 0} 1 . \frac{1}{1+cos(0)} \\ \\ \lim_{x \to 0} 1 . \frac{1}{1+cos(0)} \\ \\ \lim_{x \to 0} 1 . \frac{1}{2} \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{1}{2}$

Passos da resolução: 

Linha 2 - Multipliquei pelo conjugado
Linha 3 - Usei produto notável :   (a-b)(a+b) = a²-b²
Linha 4 - Identidade Trigonométrica :  sen²(x)+cos²(x)=1   ->  sen²(x)=1-cos(x)
Linha 5 - Limite Trigonométrico fundamental
Linha 6 - Aplicação do Limite. 

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Agora podemos resolver também por L'Hôpital:

$\lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{xsen(x)} \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{d}{dx}( 1-cos(x))}{ \frac{d}{dx}( xsen(x))} \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{sen(x)}{ xcos(x)+sen(x)} \ \ \ continua\ indeterminacao \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{d}{dx} (sen(x))}{ \frac{d}{dx} ( xcos(x)+sen(x))} \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{ cos(x)}{ 2cos(x)-xsen(x)} \ \ \ aplicando \ limite \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{ cos(0)}{ 2cos(0)-0sen(0)} \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{1}{ 2}$

Portanto a resposta do limete vale  1/2 :

$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{xsen(x)} = \frac{1}{2} }$

Espero que goste. Comenta Depois