Detemine o arco x, sendo cosx = - para o intervalo de π

Respostas

respondido por: SRHASHTAG

Resposta:

Vamos lá.

Veja, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se: sendo cos(x) = -1/3, com o arco "x" no seguinte intervalo:

π < x < 3π/2 , encontre os valores de tan(x) e de cossec(x).

ii) Veja que se "x" está no intervalo visto acima, então o arco "x" está no 3º quadrante, local em que tanto o seno como o cosseno são negativos. Inicialmente vamos encontrar o valor do seno a partir da primeira relação fundamental da trigonometria, que é esta:

sen²(x) + cos²(x) = 1 ---- substituindo-se cos(x) por "-1/3", teremos;

sen²(x) + (-1/3)² = 1 ---- desenvolvendo, temos;

sen²(x) + 1/9 = 1 ----- passando "1/9" para o 2º membro, temos:

sen²(x) = 1 - 1/9 ----- mmc no 2º membro é "9". Assim, utilizando-o no 2º membro, temos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador):

sen²(x) = (9*1 - 1*1)/9

sen²(x) = (9-1)/9

sen²(x) = 8/9 ----- isolando sen(x), teremos;

sen(x) = ± √(8/9) ---- note que isto é equivalente a:

sen(x) = ± √(8)/√(9) ---- como √(9) = 3, teremos:

sen(x) = ± √(8)/3 ---- note que 8 = 2² * 2. Assim ficaremos:

sen(x) = ± √(2².2)/3 ---- note que o "2", por estar ao quadrado, então ele sairá de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos assim:

sen(x) = ± 2√(2)/3 ----- mas como no 3º quadrante o seno é negativo, então ficaremos apenas com a raiz negativa e igual a:

sen(x) = -2√(2) / 3 <--- Este é o valor do sen(x) da sua questão.

iii) Agora que já temos os valores do seno [-2√(2)/3] e do cosseno [-1/3], vamos encontrar os valores pedidos de tan(x) e de cossec(x).

iii.1) Para encontrar o valor de tan(x) basta que dividamos sen(x) por cos(x). Assim, ficaremos com:

tan(x) = sen(x) / cos(x) ---- substituindo-se sen(x) e cos(x) por seus valores, teremos:

tan(x) = [-2√(2)/3] / (-1/3) --- como, na divisão, menos com menos dá mais, então ficaremos assim:

tan(x) = [2√(2)/3] / (1/3) ---- veja: divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Logo:

tan(x) = [2√(2)/3]*(3/1) ---- efetuando este produto temos:

tan(x) = 2*3√(2) / 3*1 ----- desenvolvendo, temos:

tan(x) = 6√(2) / 3 ---- simplificando-se numerador e denominador por "3", iremos ficar apenas com:

tan(x) = 2√(2) <--- Este é o valor da tan(x) pedida.

iii.2) Para encontrar o valor da cossec(x), basta saber que:

cossec(x) = 1/sen(x) ---- substituindo-se sen(x) por "-2√(2)/3", teremos:

cossec(x) = 1/[-2√(2)/3] ---- note que isto é equivalente a:

cossec(x) = 3/-2√(2) ----- passando o sinal de menos para antes da expressão, teremos:

cossec(x) = -3/2√(2) ---- para racionalizar multiplicaremos numerador e denominador por "√(2)". assim, ficaremos;

cossec(x) = -3*√(2) / 2√(2)*√(2) ---- desenvolvendo, temos:

cossec(x) = -3√(2) / 2√(2*2) ---- continuando, temos:

cossec(x) = -3√(2) / 2√(4) ---- como √(4) = 2, teremos: