Question

2 exemplos Potência de um produto 

Answer 1

Sabemos que ao somarmos parcelas iguais, estamos de fato, fazendo multiplicações. Assim podemos concluir que a determinação da potência de um número é feita pela multiplicação de fatores iguais. Consideremos os seguintes exemplos com produtos de fatores iguais:
Exemplos:

1º exemplo: 
Termos da potenciação:

Base=2Expoente = 4Potência = 16 [Resultado da operação]Lê-se: Dois elevado à quarta potência.
2º exemplo: 

53 = 5.5.5= 125 (3 fatores iguais)

Termos da potenciação:

Base=5Expoente = 3Potência = 125 [Resultado da operação]Lê-se: Cinco elevado à terceira potência.
3º exemplo: 35 = 3.3.3.3.3 (5 fatores iguais)

Este produto de 5 fatores iguais ao número 3 pode ser expresso da seguinte forma 35, onde 3 é chamado de base e indica o fator que está sendo repetido, e 5 é chamado de expoente e indica a quantidade desses fatores, e lido da seguinte maneira:
3 elevado à 5a potência, ou a 5a potência de 3. Então: 3.3.3.3.3=35

Termos da potenciação:

Base=3Expoente = 5Potência = 243 [Resultado da operação]
EXPLICANDO ALGUMAS PROPRIEDADES.
A potenciação além de economizar nosso trabalho para calcular grandes números, também economiza na escrita.
Vamos ver os seguintes exemplos para entender melhor:

1º ) Produto de potências de mesma base.

Note que é necessário escrever muitas vezes o número 1 para determinar a potência de 115 .

Esta foi fácil, pois sabemos das definições que 1n=1
(3.3.3).(3.3).(3.3)=33. 32. 32 =33+2+2=37=2187(3.3.3)=33(3.3)= 32(3.3)= 32Note que 37= (3.3.3.3.3.3.3) =2187Três elevado à sétima potência.

Para escrever o produto de potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes
2º ) Potência de potência.

(22)3 = 22 . 22 . 22 = 22+2+2= 26 = 64(22)4 = 22 . 22 . 22 . 22 = 22+2+2+2= 28 = 256
Para escrever a potência elevada a outro expoente, mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes.

3º ) Quociente de potências de mesma base.
         Sem utilizar dessa propriedade, o cálculo do quociente com potência 128 ÷ 126 ficaria da seguinte forma: 

128 ÷126 = 429981696 : 2985984 = 144 

Utilizando a propriedade do quociente de mesma base, a resolução ficaria mais simplificada. Veja como nessa divisão as bases são iguais, basta repetir a base e diminuir os expoentes. 

128 ÷ 126 = 128 – 6 = 122 = 144 

(-5)6 ÷ (-5)2 = (-5)6 – 2 = (-5)4 = 625 

Para escrever o quociente de potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes.
Observação: Quociente significa o resultado de uma divisão
NÚMEROS NATURAIS:
DEFINIÇÕES:

Sejam  a Î R positivo e n Î NTambém podemos definir da seguinte forma:Dados um número real positivo a e um número natural n diferente de zero, chama-se potência de base a e expoente n o número an  que é igual ao produto de n fatores iguais ao número a.
D1 )  an  = a.a.a.a. ... .a (n vezes), n > 1, onde:  an = a.an-1Da definição anterior decorre que:

D2 )  a1 = a   , (a ≠ 0)
 Todo número natural elevado a 1 é igual a ele mesmo, pois não existe produto apenas com um único fator.
D3 )  a0 = 1   , (a ≠ 0)
Todo número natural, diferente de zero, elevado a zero é igual a 1.
POTÊNCIAS ESPECIAIS:

1n = 1  e  0n =0 para qualquer que seja o valor de n , poisan  = a.a.a.a. ... .a (n vezes), n > 1 Þ  1.1.1. ... .1 = 1 ean  = a.a.a.a. ... .a (n vezes), n > 1 Þ  0.0.0. ... .0 = 0.
PROPRIEDADES RELATIVAS ÀS POTÊNCIAS DE MESMA BASE:

Considerando que a base é um número real “a” positivo e o expoente é um número natural “n”, temos que:
Sejam m,n Î N*  e a,b Î R* positivo então:N1 )  an .am = an+m    . Intuitivamente é fácil observar que:


Chamamos esta propriedade de “Propriedade fundamental”: Multiplicação de potências de mesma  base.N2 )  an ÷ am = an-m   ( a ≠ 0 , n … m )         
N4 ) ( a.b )n = an .bn

Answer 2

Potencia é a representação de um numero multiplicado por si mesmo n vezes. 
O numero chama-se base e o numero de vezes que se multiplica é o expoente.
A operação de obter o resultado dessa potencia é a Potenciação.
exemplo: a potencia: 2³, 2 é a base e 3 o expoente.
potenciação de 2³=2x2x2=8
A potencia de um produto é representar o resultado de uma multiplicação em potencia. Ex.: 2x4=8 ⇒ potencia do produto=2³
                     2*1/4=1/2⇒potencia do produto=2*2⁻²=2⁻¹
. a pergunta tambem pode ser interpretada como o produto de potencias:
   Ex.: 2²x2³=(2x2)x(2x2x2)=(4)x(8)=32, 
   fazer o calculo da potencia sem decompor, segue a regra:
  na multiplicação de:
. potencias de mesma base: mantem-se a base e soma os expoentes:  
              2²x2³=2²⁺³=2⁵ (2⁵=32 chegou no resultado acima)
. potencias de bases diferentes e expoentes iguais: multiplica-se as bases e
   mantem-se o expoente:  2²x3²=6² 
. bases iguais e um dos expoentes negativo:
  2³*2⁻²=2³⁺(⁻²)=2³⁻²=2 
  . obs.: percebe-se que foi feita uma divisão:  lembrar que qualquer numero multiplicado por 1, escreve-se simplimente o numero sem indicar a multiplicação, por isso que um numero inteiro elevado a um expoente negativo é 1 dividido por ele com expoente positivo. Ex.: 2⁻¹=1*2⁻¹=1/2¹, ou simplesmente 1/2)
. bases e expoentes diferentes: resolve-se as potencias e depois multiplica-se.