Question

$log_{5} x=log_{x} 5$
$S=$ {$1/5, 5$}
Eu consigo achar $S=$ {$5$}, mas como achar $S=$ {$1/5$}?

Answer 1

Condição de existência:
x>0
x≠1

Mudança de base. 

$\boxed{log_{a}b = \frac{log_{c}b}{log_{c}a}}$

Transformaremos tudo na base 5.

$log_{5}x = log_{x}5 \\\\ log_{5}x = \frac{log_{5}5}{log_{5}x} \\\\ log_{5}x = \frac{1}{log_{5}x} \\\\ (log_{5}x)^{2} = 1 \\\\ log_{5}x = \pm 1 \\\\\\ \rightarrow log_{5}x = 1 \Rightarrow x = 5 \\\\ \rightarrow log_{5}x = -1 \Rightarrow x = \frac{1}{5}$

Portanto, a solução é:

$\boxed{\boxed{S = \{\frac{1}{5}, \ 5 \}}}$