Question

Que condição dois números naturais devem satisfazer para que a sua soma seja igual à diferença entre os seus quadrados? Justifique sua resposta.

Answer 1

Olá!! duro bom? (｡•̀ᴗ-)✧✨

Sim!! os números naturais devem satisfazer para somar seja igual á diferença entre os seu quadrados.

RESÍDUOS QUADRÁTICOS.

estas soluções são incongruentes. Suponhamos por absurdo que x1 e −x1 sejam

congruentes módulo p, ou seja, x1 ≡ −x1 (mod p), daí x1 + x1 ≡ −x1 + x1 (mod p)

portanto, 2x1 ≡ 0 (mod p). Temos que p é ímpar e não divide x1 e sabendo que x1 é

diferente de zero, podemos concluir que não é possível ocorrer a congruência 2x1 ≡ 0

(mod p), pois p não divide a e além disso x

2

1 ≡ a (mod p) daí podemos garantir que

p nãzo divide x

2

1

e portanto não divide x1, assim podemos concluir que x1 e −x1

são incongruentes móduo p. A nossa meta agora é mostrar que existem apenas

estas duas soluções incongruentes módulo p. Assim, seja y uma solução de x

2 ≡ a

(mod p), então y

2 ≡ a (mod p), como x1 é solução teremos que x

2

1 ≡ a (mod p),

portanto x

2

1 ≡ y

2 ≡ a (mod p) e assim, x

2

1−y

2 ≡ 0 (mod p), onde podemos concluir

(x1 + y)(x1 − y) ≡ 0 (mod p), como p é primo temos que p | x1 + y ou p | x1 − y, o

que é o mesmo que x1 +y ≡ 0 (mod p) ou x1 −y ≡ 0 (mod p) daí y ≡ −x1 (mod p)

ou y ≡ x1 (mod p). Portanto, caso exista soluções, só existem apenas duas soluções

incongruentes módulo p.

então sim os quadrados matemáticos são importantes.

espero ter ajudado ☺️✨