Question

Determinar as raízes da equação abaixo:

$\sqrt{1-x^2} =4x^3 -3x$

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos determinar as raízes da seguinte equação:

$\sqrt{1-x^2}=4x^3-3x$

Faça uma substituição $x=\cos(t),~t\in[0,~2\pi]$.

$\sqrt{1-(\cos(t))^2}=4\cdot(\cos(t))^3-3\cdot(\cos(t))\\\\\\ \sqrt{1-\cos^2(t)}=4\cos^3(t)-3\cos(t)$

Lembre-se da identidade fundamental da trigonometria: $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ e da fórmula do arco triplo: $4\cos^3(t)-3\cos(t)=\cos(3t)$

$\sin(t)=\cos(3t)$

Subtraia $\sin(t)$ em ambos os lados da igualdade, de modo que tenhamos:

$\cos(3t)-\sin(t)=0$

Aplique a identidade $\sin(t)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)$

$\cos(3t)-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)=0$

Aplique a transformação de soma em produto: $\cos(p)-\cos(q)=-2\sin\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\sin\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$

$-2\sin\left(\dfrac{3t+\dfrac{\pi}{2}-t}{2}\right)\sin\left(\dfrac{3t-\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)}{2}\right)=0$

Some os termos e simplifique as frações

$-2\sin\left(t+\dfrac{\pi}{4}\right)\sin\left(2t-\dfrac{\pi}{4}\right)=0$

Para que um produto de dois ou mais fatores seja igual a zero, pelo menos um de seus fatores é igual a zero. Assim, teremos duas soluções:

$\sin\left(t+\dfrac{\pi}{4}\right)=0~~\bold{ou}~~\sin\left(2t-\dfrac{\pi}{4}\right)=0$

Sabendo que $\sin(x)=0\Rightarrow x=2k\pi$, temos:

$t+\dfrac{\pi}{4}=2k\pi~~\bold{ou}~~2t-\dfrac{\pi}{4}=2k\pi$

Subtraia $\dfrac{\pi}{4}$ em ambos os lados da primeira igualdade e some $\dfrac{\pi}{4}$ em ambos os lados da segunda igualdade

$t=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi~~\bold{ou}~~2t=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$

Divida ambos os lados da segunda igualdade por um fator $2$

$t=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi~~\bold{ou}~~t=\dfrac{\pi}{8}+k\pi$

No intervalo $t\in[0,~2\pi]$, temos as soluções

$t=\dfrac{3\pi}{4},~t=\dfrac{7\pi}{4},~t=\dfrac{\pi}{8},~t=\dfrac{5\pi}{8},~t=\dfrac{9\pi}{8}$  e $t=\dfrac{13\pi}{8}$.

Substituindo estes resultados em $x=\cos(t)$, temos:

$x=\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\\\ x=\cos\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\\\ x=\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\\\\\\ x=\cos\left(\dfrac{5\pi}{8}\right)=-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\\\\\\ x=\cos\left(\dfrac{9\pi}{8}\right)=-\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\\\\\\ x=\cos\left(\dfrac{13\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

Porém, como se trata de uma equação irracional, devemos testar as soluções. Com isso, verifica-se que as únicas soluções desta equação são $x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}},~x=-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ e $x=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.

O conjunto solução desta equação é:

$\boxed{\bold{S=\left\{x\in\mathbb{R}~\biggr|~x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}},~x=-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}~e~x=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\right\}}}}$.