Question

A posição de uma partícula como função do tempo é dada por
x(t) = $\frac{1}{4} x_{0} e^{3\alpha t}$ ,
onde α é uma constante positiva.
(a) Em que tempo a partícula esta em $2x_{0}$?
(b) Qual e a velocidade escalar da partícula como função do tempo?
(c) Qual é a aceleração da partícula como função do tempo?
(d) Quais são as unidades do SI para $\alpha$?

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cinemática.

Seja a posição $x$ de uma partícula dada em função do tempo por $x(t)=\dfrac{1}{4}x_0e^{3\alpha t}$, onde $\alpha$ é uma constante positiva.

Devemos determinar:

a) Em que tempo a partícula está em $x=2x_0?$

Igualando a função, teremos:

$2x_0=\dfrac{1}{4}x_0e^{3\alpha t}$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $x_0,~x_0\neq0$

$2=\dfrac{1}{4}\cdot e^{3\alpha t}$

Multiplique ambos os lados da igualdade por um fator $4$

$e^{3\alpha t}=8$

Calcule o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade

$3\alpha t=\ln(8)$

Calcule o logaritmo e divida ambos os lados da equação por um fator $3\alpha,~\alpha>0$

$3\alpha t=3\ln(2)\\\\\\ t=\dfrac{\ln(2)}{\alpha}~~\checkmark$

b) Qual é a velocidade escalar da partícula em função do tempo?

Lembre-se que $v(t)=(x(t))'$, logo calculamos a derivada da função posição

$v(t)=\left(\dfrac{1}{4}x_0e^{3\alpha t}\right)'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $(c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada da função exponencial é a própria função exponencial: $(e^x)'=e^x$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra da constante

$v(t)=\dfrac{1}{4}x_0\cdot (e^{3\alpha t})'$

Aplique a regra da cadeia e calcule a derivada da função exponencial

$v(t)=\dfrac{1}{4}x_0\cdot (3\alpha t)'\cdot e^{3\alpha t}$

Aplique a regra da constante novamente

$v(t)=\dfrac{1}{4}x_0\cdot 3\alpha \cdot(t)'\cdot e^{3\alpha t}$

Aplique a regra da potência, sabendo que $t=t^1$ e multiplique os termos

$v(t)=\dfrac{1}{4}x_0\cdot 3\alpha \cdot1\cdot t^{1-1}\cdot e^{3\alpha t}\\\\\\ v(t)=\dfrac{3\alpha}{4}x_0e^{3\alpha t}~~\checkmark$

c) Qual é a aceleração da partícula em função do tempo?

Da mesma forma, lembre-se que $a(t)=(v(t))'$, logo calculamos a derivada da função velocidade:

$a(t)=\left(\dfrac{3\alpha}{4}x_0e^{3\alpha t}\right)'$

Visto que o processo é exatamente o mesmo, facilmente chegamos ao resultado desejado:

$a(t)=\dfrac{9{\alpha}^2}{4}x_0e^{3\alpha t}~~\checkmark$

d) Quais são as unidades do S. I. para $\alpha?$

Utilizando o resultado adquirido na letra a), temos que:

$t=\dfrac{\ln(2)}{\alpha}$

O número $\ln(2)$ é uma constante adimensional. Porém, a unidade de medida do tempo no S. I. é o segundo (s).

Assim, facilmente concluímos que:

$[\alpha]=s^{-1}~~\checkmark$

Estas são as respostas para estas questões.