Question

determine as dimensoes do cilindro reto de volume maximo que pode ser inscrito numa esfera de raio r

Answer 1

Um cilindro inscrito em uma esfera apresenta simetria em relação ao plano paralelo às bases que contém o diâmetro desta esfera. 
O raio da esfera (r) é a hipotenusa do triângulo cujos catetos são o raio da base do cilindro (a) e a metade da altura (h = 2b) deste cilindro:
r² = a² + b²
a² = r² - b²

O volume do cilindro é dado por:
V = πa²h = πa².(2b) 
V = π.(r² - b²).(2b)
V = 2πbr² - 2πb³

Quero o volume máximo:
dV/db = 0
2πr² - 6πb² = 0
b² = 2r²/6
b = r√3/3

Esse ponto é o ponto de máximo local para a função V, do terceiro grau, pois se b<r√3/3, V é estritamente crescente; se b>r√3/3, V é estritamente decrescente.

Portanto, a altura do cilindro que fornece volume máximo é h = 2b = 2r√3/3

Para calcularmos o raio a:
a² = r² - b²
a² = r² - (r√3/3)²
a² = r² - 3r²/9
a² = (9r² - 3r²)/9
a² = 6r²/9
a = r√6/3

Solução: cilindro com altura 2r√3/3 e raio da base r√6/3.