Question

Uma equipe de dez pesquisadores é formada por sete brasileiros e três estrangeiros. Para apresentar um projeto a uma empresa, será necessário escolher quatro pesquisadores, dos quais no mínimo um deve ser estrangeiro. De quantas formas distintas poderá ser feita essa escolha?

Answer 1

Resposta: 175 formas distintas.

Explicação passo-a-passo: Essa é uma questão de Análise Combinatória, pois a ordem de escolha não é importante.

Temos uma equipe de 10 pessoas - 7 brasileiros e 3 estrangeiros. E é preciso formar um grupo com 4 pessoas, mas é necessário ter no mínimo 1 estrangeiro.

Ou seja, os grupos poderão ser de 3 formas:

Caso 1 - 3 brasileiros e 1 estrangeiro.

Caso 2 - 2 brasileiros e 2 estrangeiros.

Caso 3 - 1 brasileiro e 3 estrangeiros.

Caso 1:

Temos 7 brasileiros para 3 vagas de brasileiros além de 3 estrangeiros para apenas 1 vaga de estrangeiros.

Vamos utilizar a fórmula de combinação para isso, já que a ordem não é importante:

$C_{p,n} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$

Para as vagas de brasileiros:

$C_{7,3} = \frac{7!}{3!(4)!} = \frac{7.6.5.4!}{3!.4!} = \frac{7.6.5}{6} = 7.5 = 35$

Para as vagas de estrangeiros:

$C_{3,1} = \frac{3!}{1!(2)!} = \frac{3.2!}{1.2!} = \frac{3}{1} = 3$

Portanto, para o caso 1, temos:

$35.3 = 105$ formas de montar o grupo.

Caso 2:

Temos 7 brasileiros para 2 vagas de brasileiros além de 3 estrangeiros para 2 vagas de estrangeiros.

Para as vagas de brasileiros:

$C_{7,2} = \frac{7!}{2!(5)!} = \frac{7.6.5!}{2!5!} = \frac{7.6}{2} = 7.3 = 21$

Para as vagas de estrangeiros:

$C_{3,2} = \frac{3!}{2!(1)!} = \frac{3.2!}{2!.1} = \frac{3}{1} = 3$

Portanto, para o caso 2, temos:

$21.3 = 63$ formas de montar o grupo.

Caso 3:

Temos 7 brasileiros para apenas 1 vaga de brasileiros além de 3 estrangeiros para 3 vagas de estrangeiros.

Para as vagas de brasileiros:

$C_{7,1} = \frac{7!}{1!(6)!} = \frac{7.6!}{1!.6!} = \frac{7}{1} = 7$

Para as vagas de estrangeiros:

$C_{3,3} = \frac{3!}{0!(3)!} = \frac{3!}{0!.3!} = \frac{1}{1} = 1$

Portanto, para o caso 3, temos:

$7.1 = 7$ formas de montar o grupo.

Agora basta somar todas as possibilidades para os 3 casos:

$105+63+7 = 175$ possibilidades.

Espero ter ajudado.