Matéria: Matemática
Autor: jadicoutinhoslv
Perguntado 4 anos atrás

A função real f(x) = a + b. sen cx tem imagem igual a [-7, 9] e seu período é π/2 rad. Assim, a + b + c vale:
a) 13
b) 9
c) 8
d) – 4
e) 10

Respostas

respondido por: jnsadailton

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

$f(x)=a+bsen(cx)$

Vamos primeiro interpretar o que cada termo faz com a função:

a : Altera apenas valores do y, subindo (se for positivo) ou descendo (se for negativo) com a função e com sua imagem.

b : Expande ou comprime a função seno, alterando a resposta da função. Logo está ligada a imagem e dependendo do seu valor, está aumentando (se seu módulo for maior que 1) ou diminuindo (se seu módulo for menor que 1) o tamanho da imagem. Se b for negativo, a imagem ainda é invertida.

c: Expande ou comprime os valores que recebe de x, alterando portando o período da função (Perceba que é o único termo que não é ligado a imagem)

Dito isso, vamos seguir primeiro das informações da função sen(x) :

$sen(x):\\Im=[-1,1]\\T=2 \pi$

Onde T é o período.

Vamos primeiro ver que o tamanho da Imagem usualmente é 2 (de -1 a 1)

No nosso caso, a imagem também tem tamanho 16 (-7 a 9)

Logo, vemos de cara que a imagem foi expandida (b>0) e num fator de 8, pois antes tinha tamanho 2 e agora tem 16. Logo, b=8.

Porém, caso houvesse apenas de b=8, a imagem passaria ser a [-8,8]

Mas no nosso caso, temos [-7,9]. Assim, vemos que subimos 1 com a imagem (a=1)

Agora vamos olhar pro valor de c:

Temos que o período é π/2

Se chamarmos o valor que multiplica x dentro da função seno de K, quando K=1, temos T=π/2

E quando K=c?

Fazemos uma regra de 3:

$1 \-- \-- \-- \-- \ 2\pi\\c ---- \ \ T\\\\c=\dfrac{T}{2\pi}$

Assim, no nosso caso, T=π/2

Logo:

$c=\dfrac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{2\pi \times 2}{\pi} = 4$

c=4

Logo a+b+c=8+1+4=13

respondido por: andre19santos

A soma a + b + c vale 13, alternativa A.

Essa questão é sobre funções trigonométricas. As funções trigonométricas são obtidas a partir do circulo trigonométrico e são periódicas. As principais funções são:

seno: y = sen x; período = 2π; imagem = [-1, 1];

cosseno: y = cos x; período = 2π; imagem = [-1, 1];

tangente: y = tan x; período = π; imagem = ]-∞, +∞[;

Se o intervalo da função é [-7, 9], temos que o valor mínimo é -7 e o valor máximo é 9. O valor mínimo é dado quando sen cx = -1 e o valor máximo é quando sen cx = 1, logo:

-7 = a + b·(-1)

9 - a + b·1

O sistema de equações fica:

a - b = -7

a + b = 9

Somando as equações:

2a = 2

a = 1

Substituindo o valor de a:

1 + b = 9

b = 8

O período da função será dado por: