Question

Determine a medida do raio de uma circunferência (em m), sabendo que nela um
ângulo central de 45° corresponde a um arco de 110cm,

Answer 1

O raio da circunferência mede 1,4 m.

• Em qualquer circunferência, a razão entre seu comprimento (C) e seu diâmetro (d) é sempre constante e igual a π (pi) onde π é um número irracional aproximadamente igual a 3,1415926535898….

$\large \sf \dfrac{C}{d} = \pi$  ⟹ Multiplique ambos os membros por d.

C = π ⋅ d

• A medida do diâmetro (d) de uma circunferência é o dobro do raio (r)(d = 2⋅r). Substitua d por 2⋅r.

C = 2 · π ⋅ r ①

• Observe que a medida do ângulo central é igual à medida do arco de circunferência relativo a esse ângulo. Um ângulo de 45° equivale a 1/8 da circunferência completa (360°), pois 360° ÷ 8 = 45°, então o comprimento (ℓ) do arco será 1/8 do comprimento (C) da circunferência.

$\large \sf \ell = \dfrac {C}{8}$  ②

• Substitua a equação ① na ②.

$\large \sf \ell = \dfrac {2 \cdot \pi \cdot r}{8}$  ⟹ Simplifique.

$\large \sf \ell = \dfrac {\pi \cdot r}{4}$

4 ⋅ ℓ = π ⋅ r

$\large \sf r = \dfrac {4 \cdot \ell}{\pi}$

• Se o comprimento (ℓ) do arco é igual a 110 cm, transforme para metro e substitua na equação anterior. (110 cm = 1,1 m)

$\large \sf r = \dfrac {4 \cdot 1,1}{\pi} =\dfrac {4,4}{\pi}$

r ≅ 1,4 m

Resposta: O raio da circunferência mede 1,4 m.

 

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