Question

seja f:R→R tal que x^2cos(2x)≤f(x)≤xsin(x) , para todo x∈(−π/2,π/2). Use o Teorema do confronto para mostrar que f é contínua em x=0. REPRESENTAÇÃO NA IMAGEM

Answer 1

Já que $x^2 \cos (2x)\leq f(x) \leq x \sin (x)$, ao pôr x =0 encontramos que $0 \leq f(0) \leq 0$, o que implica que $f(0) = 0$. Basta provarmos que o limite em x = 0 de f também é 0. Já que a desigualdade vale no intervalo que contém x = 0, podemos aplicar o limite de quando x tende a 0 na desigualdade:

$\lim_{x \to 0} x^2 \cos (2x)\leq \lim_{x \to 0} f(x) \leq \lim_{x \to 0} x\sin (x)$

$0 \leq \lim_{x \to 0} f(x) \leq 0$

O que implica $\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$. Portanto, f é contínua em x = 0. $\blacksquare$