Question

As aplicações de integrais são muito relevantes para a geometria. Entre elas podemos destacar o cálculo da área entre duas curvas. Com este procedimento, podemos determinar áreas que anteriormente eram inacessíveis através da Geometria Plana Clássica. Segundo isto, determine a área entre as curvas g(x) = -x² + 1 e f(x) = -x³ + 1, no intervalo de [-1, 1]:

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

Seja a região $R$ compreendida entre duas funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas e integráveis em um intervalo fechado $[a,~b]$, onde $f(x)>g(x)$. A área desta região pode ser calculada pela integral: $\displaystyle{\iint_R\,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}1\,dy\,dx=\int_a^bf(x)-g(x)\,dx}$.

Devemos determinar a área entre as curvas $g(x)=-x^2+1$ e $f(x)=-x^3+1$, no intervalo $[-1,~1]$.

Primeiro, devemos determinar qual função tem imagem maior neste intervalo. Para isso, utilizamos uma ferramenta gráfica para plotar os gráficos das funções, como pode-se ver na primeira imagem em anexo.

Facilmente, podemos ver que, neste intervalo, $-x^3+1>-x^2+1$. Assim, a área desta região será calculada pela integral:

$\displaystyle{\int_{-1}^1-x^3+1-(-x^2+1)\,dx$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos semelhantes

$\displaystyle{\int_{-1}^1-x^3+1+x^2-1\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_{-1}^1-x^3+x^2\,dx}$

Para resolver esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm \int g(x)\,dx}$ .  

• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.

• A integral definida de uma função , contínua e integrável em um intervalo fechado  é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$ .

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{-\int x^3\,dx+\int x^2\,dx~\biggr|_{-1}^1$

Aplique a regra da potência

$-\dfrac{x^{3+1}}{3+1}+\dfrac{x^{2+1}}{2+1}~\biggr|_{-1}^1$

Some os valores nos expoentes e denominadores

$-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_{-1}^1$

Aplique os limites de integração

$-\dfrac{1^4}{4}+\dfrac{1^3}{3}-\left(-\dfrac{(-1)^4}{4}+\dfrac{(-1)^3}{3}\right)$

Calcule as potências e multiplique os termos

$-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-\left(-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos

$-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\\\\\\ \dfrac{2}{3}~\bold{u.~a}~~\checkmark$

Esta é a área da região compreendida entre estas curvas. Observe na segunda imagem em anexo esta região colorida em laranja.