Question

Analisar as informações abaixo, relacionada à empresa:

"O lucro L obtido pela empresa na venda de um adubo específico é em função do preço x cobrado. Se x for um número muito pequeno, o lucro é negativo, ou seja, a empresa terá prejuízo. Se x for um número muito grande, o lucro também será negativo, pois poucas pessoas adquirirão o adubo dessa empresa. A matriz da empresa, estudando a situação, deduziu a fórmula para L em função de x: L = -x² + 90x – 1400. (L e x em unidades monetárias convenientes)".

Responda:

1.Discutir e demonstrar por meio de cálculos se haverá lucro se o preço for x = 20 e se o preço for x = 70.

2. Explicar o que acontecerá quando x = 100. Esboçar o gráfico dessa função.

3. Definir quanto à empresa deverá cobrar (moeda vigente) para ter lucro máximo? Qual é esse lucro máximo?

Answer 1

Olá, Vislaine

$1.\,L(x) = -x\² + 90x - 1.400\\\\ L(20)=-20^2+90\cdot20-1.400=-400+1.800-1.400=0\text{, ou seja:}\\\text{nem lucro nem preju\'izo, \'e um ponto de nivelamento.}\\\\ L(70)=-70^2+90\cdot70-1.400=-4.900+6.300-1400=0\text{, ou seja:}\\\text{nem lucro nem preju\'izo, \'e um outro ponto de nivelamento.}$

$2.\,L(100)=-100^2+90\cdot100-1.400=-10.000+9.000-1.400=\\=\text{R\ }\,-2.400,00<0,\text{ ou seja: preju\'izo}$.
O gráfico da função está em anexo.

$3.$ Como a função lucro da empresa é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, uma vez que o termo que acompanha $x^2$ é negativo (-1), então, no valor $x^*$ que anula a derivada a função lucro atinge seu valor máximo:

$L'(x^*)=0\Rightarrow -2x^*+90=0\Rightarrow \boxed{x^*=\text{R\ }45,00}\\\\ L(x^*)=L(45)=-45^2+90\cdot45-1.400=-2.025+4.050-1.400\Rightarrow\\\\\boxed{L(45)=\text{R\ }625,00}$

Resposta: para obter um lucro máximo de R$ 625,00, a empresa deverá cobrar um preço de R$ 45,00.