Question

sejam A e B as extremidades do diâmetro de um circulo e P um ponto qualquer sobre o circulo diferente de A e B. prove que AP e perpendicular a BP.

Answer 1

Provar que AP é perpendicular a BP, é o mesmo que provar que o ângulo APB é reto, isto é, mede 90º.
APB é um triângulo e a soma dos seus ângulos internos é igual a 180º. Então, se provarmos que a soma dos ângulos PAB e PBA é igual a 90º, teremos provado que o ângulo APB mede 90º:
∡ APB + ∡ PAB + ∡ PBA = 180º
∡ APB = 180º - (∡ PAB + ∡ PBA) [1]

Vamos chamar ao ponto médio do diâmetro AB e O. Este ponto é o centro da circunferência.
 Os ∡ PAB e ∡ PBA são ângulos inscritos
(Ângulo inscrito é um ângulo cujo vértice  pertence à circunferência e cada um de seus lados são cordas desta circunferência).
Todo ângulo inscrito em uma circunferência mede a metade do ângulo central correspondente.
(Ângulo central é um ângulo formado por dois raios).
Então, 
∡ PAB = ∡ POB/2 [2]
∡ PBA = ∡ POA/2 [3]

A soma dos ângulos POA e POB é igual a 180º, pois os pontos A, O e B são colineares:
∡ POA + ∡ POB = 180º [4]

Se somarmos membro a membro as expressões [2] e [3], teremos:
∡PAB + ∡ PBA = ∡POA/2 + ∡POB/2
Substituindo os valores obtidos em [4], ficamos com:
∡PAB + ∡ PBA = 180º/2
∡ PAB + ∡ PBA = 90º

Substituindo este valor em [1]:
∡ APB = 180º - 90º
∡ APB = 90º e, então, AP é perpendicular a BP

c.q.d.