Question

A integral definida pode ser interpretada como a área resultante de uma região. Além disso, ela é um valor em seu resultado final, ou seja, não depende da variável x podendo esta ser trocada por qualquer outra variável sem a alteração do valor da integral. Para se calcular uma integral definida, podemos utilizar a sua definição, porém este método requer certo conhecimento com somatório e limites já que a definição possui ambos. O processo se torna menos dificultoso quando aplicamos o 1o Teorema Fundamental do Cálculo, que enuncia:
“Se f for integrável em [a,b] e se F for uma primitiva de f em [a,b], então ∫ ( ) ( ) ( ).”
Desta forma, utilizando o Teorema mencionado, analise as integrais definidas a seguir e recorra às técnicas estudadas até o momento para encontrar cada resultado.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Só a letra a, pois estou um pouco ocupado.

Verifique os cálculos.

Answer 2

Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, podemos encontrar os seguintes resultados para as integrais definidas:

(a) $4+\frac{36\sqrt{3}-4}{5}$

(b) $\sqrt{2}\left(2+\frac{4\sqrt{10}}{3}\right)$

(c) $42\sqrt[3]{2}-\frac{39}{16}$

O Teorema Fundamental do Cálculo

Podemos utilizar o valor de uma integral definida, ou seja, uma integral calculada em relação a um intervalo de integração, utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo. Para isso, calculamos uma primitiva da função associada ao integrando e calculamos a diferença entre as imagens da função encontrada nos limites superior e inferior de integração.

Observe que, como qualquer função primitiva pode ser utilizada podemos tomar a constante igual a zero.

Alternativa a

Calculando uma primitiva da função, temos:

$\int \frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt[4]{x}dx = \int \frac{1}{\sqrt{x}}dx+\int \sqrt[4]{x}dx = 2\sqrt{x}+\frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}}$

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

$\int _1^9\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt[4]{x}dx = 4+\frac{36\sqrt{3}-4}{5}$

Alternativa b

Calculando a integral indefinida:

$\int \sqrt{2x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{5}\right)dx = \sqrt{2}\left(\int \:xdx+\int \sqrt{5}\sqrt{x}dx\right) = \sqrt{2}\left(\frac{x^2}{2}+\sqrt{5}\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right)$

Calculando a integral definida:

$\int _0^2\sqrt{2x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{5}\right)dx = \sqrt{2}\left(2+\frac{4\sqrt{10}}{3}\right)$

Alternativa c

Encontrando uma primitiva para o integrando:

$\int \frac{1+\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[3]{x}}dx = \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}+\sqrt[15]{x}dx = \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}dx+\int \sqrt[15]{x}dx = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}+\frac{15}{16}x^{\frac{16}{15}}$

Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:

$\int _1^{32}\frac{1+\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[3]{x}}dx = 12\sqrt[3]{2}-\frac{3}{2}+30\sqrt[3]{2}-\frac{15}{16} = 42\sqrt[3]{2}-\frac{39}{16}$

Para mais informações sobre integral definida, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/2409823

#SPJ2