Question

Uma caixa retangular, sem tampa e de volume igual a 100m³ deve ser confeccionada. Sabendo que o material referente aos lado custa R$5,00 o m² e que o fundo custa R$3,00 o m². Calcule quais devem ser as medidas da caixa (x,y e z) para que ao cuisto sejao minimo possivel ?

Answer 1

Boa noite!

Dimensões : x.y.z
V(x,y,z)=xyz=100

Laterais:
x por z e y por z, então:
2(xz+yz)=2z(x+y)
5 por m²

Fundo:
xy
3 por m²

Custo:
C(x,y,z)=5(2z(x+y))+3xy=10xz+10yz+3xy

Vamos usar os multiplicadores de Lagrange para resolver a questão:
Primeiramente, calculamos os gradientes das funções V e C.
$\nabla{V(x,y,z)}=(yz)\vec{i}+(xz)\vec{j}+(xy)\vec{k}\\ \nabla{C(x,y,z)}=(10z+3y)\vec{i}+(10z+3x)\vec{j}+(10x+10y)\vec{k}$

Temos que resolver o seguinte sistema, agora:
$\begin{cases} \nabla{V}=\lambda\nabla{C}\\ xyz-100=0 \end{cases}$

$(yz)\vec{i}+(xz)\vec{j}+(xy)\vec{k}=\lambda((10z+3y)\vec{i}+(10z+3x)\vec{j}+(10x+10y)\vec{k})$

Agora ficamos com o sistema:
$\begin{cases} yz=\lambda(10z+3y)\\ xz=\lambda(10z+3x)\\ xy=\lambda(10x+10y)\\ xyz-100=0 \end{cases}$

Isolando o lambda das 3 primeiras:
$\lambda=\frac{yz}{10z+3y}\\ \lambda=\frac{xz}{10z+3x}\\ \lambda=\frac{xy}{10x+10y}$

Igualando-as:
$\frac{yz}{10z+3y}=\frac{xz}{10z+3x}=\frac{xy}{10x+10y}$

Multiplicando e dividindo a primeira por x, a segunda por y e a terceira por z, teremos:
$\frac{xyz}{x(10z+3y)}=\frac{xyz}{y(10z+3x)}=\frac{xyz}{z(10x+10y)}\\ \frac{100}{x(10z+3y)}=\frac{100}{y(10z+3x)}=\frac{100}{z(10x+10y)}$

Agora temos:
$x(10z+3y)=y(10z+3x)=z(10x+10y)\\ 10xz+3xy=10yz+3xy\\ x=y\\ y(10z+3x)=z(10x+10y)\\ 10yz+3xy=10xz+10yz\\ 3xy=10xz\\ 3y=10z\\ y=\frac{10}{3}z$

Então:
$xyz=100\\ {\frac{10}{3}z}\cdot{\frac{10}{3}z}\cdot{z}=100\\ \frac{100}{9}z^3=100\\ z^3=9\\ z=\sqrt[3]{9}$

Então, as dimensões são:
$x=\frac{10}{3}\sqrt[3]{9}\approx{6,93}\\ y=\frac{10}{3}\sqrt[3]{9}\approx{6,93}\\ z=\sqrt[3]{9}\approx{2,08}$

Espero ter ajudado!