Question

Calcular a soma C = (cij)3x3 das matrizes A = (aij)3x3 e B = (bij)3x3 tais que
aij = i2 + j2 e bij = 2ij

Answer 1

Resposta:

$C=\left[\begin{array}{ccc}4&9&16\\9&16&25\\16&25&36\end{array}\right]$

Explicação passo-a-passo:

Precisamos calcular a soma $C$ das matrizes $A$ e $B$. Isto é,

$C=A+B$

Os elementos das matrizes são listados da forma $a_{ij}$, onde $i$ indica a linha e $j$ indica a coluna. Assim temos,

$A=\left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{ccc}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{array}\right]$

$C=\left[\begin{array}{ccc}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right]$

Todas matrizes quadradas de três linhas e três colunas pois o enunciado dita a regra $3\times3$.

O enunciado também dita a propriedade de formação dos elementos das matrizes $A$ e $B$, onde,

$a_{ij}=i^2+j^2$

Isto é, na matriz $A$, cada elemento é resultado da soma do quadrado dos índices linha/coluna:

$A=\left[\begin{array}{ccc}1^2+1^2&1^2+2^2&1^2+3^2\\2^2+1^2&2^2+2^2&2^2+3^2\\3^2+1^2&3^2+2^2&3^2+3^2\end{array}\right]$

Resolvendo,

$A=\left[\begin{array}{ccc}1+1&1+4&1+9\\4+1&4+4&4+9\\9+1&9+4&9+9\end{array}\right]$

$A=\left[\begin{array}{ccc}2&5&10\\5&8&13\\10&13&18\end{array}\right]$

Na matriz $B$, a regra dos elementos é

$b_{ij}=2ij$

Ou seja, cada elemento é resultante do dobro do produto dos índices linha/coluna:

$B=\left[\begin{array}{ccc}2\times1\times1&2\times1\times2&2\times1\times3\\2\times2\times1&2\times2\times2&2\times2\times3\\2\times3\times1&2\times3\times2&2\times3\times3\end{array}\right]$

Resolvendo cada um,

$B=\left[\begin{array}{ccc}2\times1&2\times2&2\times3\\4\times1&4\times2&4\times3\\6\times1&6\times2&6\times3\end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{ccc}2&4&6\\4&8&12\\6&12&18\end{array}\right]$

Agora podemos calcular

$C=A+B$

$C=\left[\begin{array}{ccc}2&5&10\\5&8&13\\10&13&18\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}2&4&6\\4&8&12\\6&12&18\end{array}\right]$

$C=\left[\begin{array}{ccc}4&9&16\\9&16&25\\16&25&36\end{array}\right]$