Question

2. Usando as propriedades de funções harmônicas, podemos encontrar a parte imaginária de um
u(x,y) = 2xy + 2y
é igual a
1) v(x,y) = x2 + 2x + co
II) P(x,y) = 2y + 2x+ 2+ Co
III) v(x,y) = -x2 - 2x + y2 + Co
IV) Não podemos encontrar v(x,y)
a) Somente a opção IV está correta.
b) Somente a opção II está correta
c) Somente a opção III está correta.
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Answer 1

Seja uma função real $u=u(x,y)$ tal que:

$\boxed{u(x,y)=2xy+2y}$

Seu laplaciano será dado por:

$\boxed{\nabla^2u=\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2u}{\partial y^2}=u_{xx}+u_{yy}}$

Sejam $u(x,y)$ e $v(x,y)$ respectivamente as partes real e imaginária de uma função complexa $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$. Sabemos que $\nabla ^2u=0$ e $\nabla^2v=0$ pois:

$\boxed{u_x=v_y\ \therefore\ u_{xx}=v_{yx}}$

$\boxed{u_y=-v_x\ \therefore\ u_{yy}=-v_{xy}}$

Dessa forma, teremos que:

$u_x=v_y\ \to\ 2y=v_y\ \to\ v=(x,y)=2\int{y\partial y}\ \to$

$v(x,y)=2\dfrac{y^2}{2}+H(x)\ \therefore\ \boxed{v(x,y)=y^2+H(x)}$

Além disso:

$u_y=-v_x\ \to\ 2x+2=-v_x\ \to\ H'(x)=-2x-2\ \to$

$H(x)=\int{(-2x-2)\partial x}\ \therefore\ \boxed{H(x)=-x^2-2x+C_0}$

Portanto, a parte imaginária de $f(z)$ será:

$\boxed{v(x,y)=-x^2-2x+y^2+C_0}$

Letra c) Somente a opção III está correta.