Question

Considerando que a² + 2ab + b² = 25 e a² − 2ab + b² = 1, então é correto afirmar que ab é igual a:

Answer 1

Solucionando o sistema de duas equações, é correto afirmar que o produto ab é igual a 6.

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De primeira vista nas expressões, podemos notar que temos dois produtos notáveis, o quadrado da soma de dois termos e o quadrado da diferença de dois termos:

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a – b)² = a² – 2ab + b²

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Contudo, me surgiu a ideia de montar um sistema de equações sem fatorar as expressões, para que possamos encontrar o produto ab direto ao invés de encontrar separadamente ‘‘a’’ e ‘‘b’’:

$\\\large\begin{array}{l}\begin{cases}\sf a^2+2ab+b^2=25~~\mathnormal{(\,I\,)}\\\\\sf a^2-2ab+b^2=1\,~~\mathnormal{(\,II\,)}\end{cases}\end{array}$

Dessa forma, pelo método da adição, a fim de garantir que o produto 2ab não se anule ao somarmos as equações, multiplicaremos a eq. ( ɪɪ ) por – 1:

$\\\large\begin{array}{l}\begin{cases}\sf a^2+2ab+b^2=25\\\\\sf(a^2-2ab+b^2=1)\cdot(-1)\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf ~~a^2+2ab+b^2=25\\\\\sf\!-\,a^2+2ab-b^2=-\,1\end{cases}\end{array}$

Agora veja que maravilhoso, somando ambas as equações membro a membro será anulado a soma a² + b², e assim teremos como encontrar exatamente o valor de ab, que é o que desejamos. Fazendo isso obtemos:

$\\\large\begin{array}{l}\sf\ +\:\!\begin{cases}\sf~~a^2+2ab+b^2=25\\\\\sf\!-\,a^2+2ab-b^2=-\,1\end{cases}\\ \:\textsf{------------------------------------------------------------}\\ \sf ~~(1-1)a^2+(2+2)ab+(1-1)b^2=(25-1)\\\\\sf~~0+4ab+0=24\\\\\sf~~4ab=24\\\\\sf ~~ab=\dfrac{~24~}{4}\\\\\ ~~\!\!\!\boldsymbol{\boxed{\sf ab=6}}\end{array}$

Dessarte, podemos afirmar que o produto ab é igual a 6.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

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