Question

Queria pedir a um anjo bom que me ajudasse a resolver essa questão. Pode ser uma ""anja"" também chamada Carla.

Três colonos foram admitidos ao serviço numa fazenda de criação de aves com a condição de receber como pagamento de seu trabalho a quarta parte de produção. No primeiro dia de trabalho recolheram certo número de ovos e colocaram-no num cesto para fazer a distribuição. O primeiro colono, receoso de que o fazendeiro não dividisse igualmente os ovos, quis tirar a sua parte. Na ausência dos outros foi, ao cesto, quebrou 1 ovo e retirou para si ¼ do resto. O segundo, assaltado do mesmo receio, aproveitando a ausência dos outros, foi ao cesto quebrou 1 ovo e retirou ¼ do resto para si. O terceiro procedeu do mesmo modo, querendo a sua parte, foi ao cesto, quebrou 1 ovo e retirou ¼ do resto para si. Chegando o dono da fazenda e supondo que ainda não tivessem dividido os ovos, quebrou 1, deu ¼ do resto a cada colono e ficou com a parte que lhe competia. Quantos ovos havia no cesto? Resp 253.

Answer 1

Essa questão admite mais de uma resposta, na verdade existem infinitas respostas corretas. 253 é a menor resposta possível. Então faltou no enunciado dizer que a quantidade de ovos no cesto era a menor possível para termos uma única resposta.

De qualquer forma, a quantidade de ovos deve ser um número da forma 256k - 3, onde k é um número inteiro maior igual a 1. Uma maneira de se obter esse valor é a seguinte. Digamos que T é a quantidade total de ovos inicialmente no cesto e que o primeiro colono foi lá e pegou A ovos. Disso temos que

A = (T-1)/4

Daí sobraram 3A ovos, dos quais o segundo colono pegou B. Assim:

B = (3A - 1)/4

Similarmente, o terceiro colono pegou  C:

C = (3B-1) / 4

Por fim, o fazendeiro ficou com D ovos:

D = (3C-1) / 4

Daí temos um sistema linear com 4 equações e 5 variáveis

 T = 4A + 1

3A = 4B + 1

3B = 4C + 1

3C = 4D + 1

Em geral esse tipo de sistema  não admite solução única. Uma abordagem é escolher uma das variáveis, por exemplo, D, e encontrar as demais em função dessa variável. Você pode fazer isso escrevendo na forma matricial e escalonando por exemplo (eu não vou fazer assim mas coloquei numa imagem a matriz).

A diferença desse problema para um problema de sistemas lineares em geral, é que aqui estamos interessados em soluções inteiras. Os números A,B,C,D,T precisam ser números naturais, e não qualquer número real.  Daí a ideia é escrever T,A,B,C em função de D e verificar quais condições D deve satisfazer para que esses valores sejam inteiros. Por isso teoricamente precisaríamos resolver o sistema acima e achar essas condições. No caso desse problema, vamos achar condições para que T seja inteiro (e nesse problema em particular isso é suficiente, mas não vou justificar, vamos apenas conferir que deu certo). Assim, precisamos escrever T em função de D.

Podemos fazer assim: considere a função f(x) = (4x+1)/3. Observamos que vale que

3T = f(A)

A = f(B)

B = f(C)

C = f(D)

Portanto, 3T = f(f(f(f(D)))). Assim, para escrever T em função de D basta encontrarmos uma formula para f composta com f 4 vezes. (Isso é o equivalente a substituir a equação de baixo na de cima 4 vezes). Mas f é uma função linear, em particular é uma transformação de Möbius, daí é facil encontrar fofofof. Basta elevar a matriz correspondente a 4:

$\left[\begin{array}{cc}4&1\\0&3\end{array}\right] ^4 = \left[\begin{array}{cc}16&7\\0&9\end{array}\right] ^2 = \left[\begin{array}{cc}256&175\\0&81\end{array}\right]$

Ou seja,  f(f(f(f(x)))) = (256x + 175) / 81. Assim concluímos que

3T =  (256D + 175) / 81

T = (256D + 175) / 27

(ressaltando que vc pode obter essa expressão substituindo mesmo ou escalonando a matriz, transformações de mobius nao sao necessarias). Para que T seja inteiro, precisamos que  (256D + 175)/27 seja inteiro. Mas observamos que

$T = \dfrac{256D+175}{27} = 9D+6 + \dfrac{13(D+1)}{27}$

Assim, basta que D+1 seja múltiplo de 27. Ou seja, D +1 = 27k, D = 27k - 1 para algum k. Substituindo esse valor de D na expressão acima obtemos T = 256k- 1, como queríamos. Agora vamos conferir que para esse valor todos os demais valores são interos:

Assumindo que T = 256k - 3 temos:

A = (T-1)/4  ⇒ A = 64k - 1

B = (3A - 1)/4  ⇒ B = (3*64K - 3 - 1)/4 = 3*16k - 1

C = (3B - 1)/4  ⇒  C = (3*3*16k - 3 - 1) / 4  = 9*4k - 1

D = (3C - 1)/4  ⇒ D = (3*9*4k - 3 - 1) / 4 = 27k -1

Resposta:

Haviam 256k-3 ovos, onde k é um número inteiro maior que 0. Ou seja, haviam no mínimo 253 ovos.