Question

Urgente!! Os pontos M(0,-1) e N (4,-4) são vértices de um triângulo cujo o terceiro vértice é um ponto da reta r: 3x + 4y = 8 A área desse triângulo mede, em unidades de area,: A) 6 B) 9 C)15 D)24 E) 30

Answer 1

Os pontos MN são a base do triângulo. A altura será dada pela distância da base à reta r. O triângulo terá um único valor de área se a base for paralela à reta r, caso contrário haverá infinitas soluções.

Seja a reta s determinada pelos pontos M e N:
y = mx + n
M ⇒ - 1 = m.0 + n ⇒ n = - 1
N ⇒ - 4 = 4m - 1
m = - 3/4

Reduzindo a reta r para obtenção de m:
4y = - 3x + 8
m = - 3/4

Como r e s têm o mesmo coeficiente angular (m), são paralelas. A distância de M ou de N até a reta r é a mesma e equivale à altura do triângulo:
d(M, r) = | ax(M) + by(M) + c | / √(a² + b²)
d(M,r) = | 3.0 + 4.(- 1) - 8 | / √(3² + 4²)
d(M,r) = | - 4 - 8 | / √25
d(M,r) = | - 12 | / 5
d(M,r) = 12/5

A base é dada pela distância entre M e N:
b² = (0 - 4)² + (- 1 + 4)²
b² = 16 + 9
b² = 25
b = 5

Portanto:
Área = b.h/2 = 5.12/5.1/2 = 6.


Um outro método mais rápido seria calculando a metade da determinante da matriz (M) formada pelos pontos dos vértices:

A = 1/2 . det $\left[\begin{array}{ccc}0&- 1&1\\4&- 4&1\\x&y&1\end{array}\right]$

No lugar de y, podemos substituir a forma reduzida da reta r. Calculando o determinante:

det M = (8 - 3x - x) - (- 4x - 4) = 8 - 4x + 4x + 4 = 12  (como esperávamos, a variável x desapareceu do cálculo, mas apenas porque r e s são paralelas).

A = 1/2 . det M = (1/2).12 = 6.