Question

Calcule as integrais definidas

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\int\limits_{ 0 }^{ \frac{\pi}{6} }\csc(x) . \cotg(x) dx$

Note que essa integral não é definida no ponto em que x = 0, já que a cossecante de 0 não possui valor definido, portanto vamos usar as integrais impróprias e fazer esse x tende a 0 pela direita, pois assim "sumiremos" com essa indeterminação. Fazendo isso:

$\lim_{a \to 0 {}^{ + } } \int\limits_{a}^{ \frac{\pi}{6} }\csc(x) . \cotg(x) dx$

Agora devemos resolver essa integral. Para iniciar, devemos manipular um pouco esse integrando e depois aplicar as propriedades:

$\int \frac{1}{ \sin(x)} . \frac{ \cos(x)}{ \sin(x)} dx \: \: \: \: \: \rightarrow \: \: \: \: \int \frac{ \cos(x)}{ \sin {}^{2}(x) } dx$

Resolvendo por substituição de variável, temos:

$u = \sin(x) \: \: \to \: \: \frac{du}{dx} = \cos(x) \: \: \to \: \:dx = \frac{du}{ \cos(x)}$

Substituindo na integral:

$\int \frac{ \cos(x)}{u {}^{2} } . \frac{du}{ \cos(x)} \: \: \to \: \: \int \frac{du}{u {}^{2} } \\ \\ \int u {}^{ - 2} du \: \: \to \: \: \frac{u {}^{ - 2 + 1} }{ - 2 + 1} + k \\ \\ \frac{u {}^{ - 1} }{ - 1} + k \: \: \to \: \: - \frac{1}{u} + k$

Repondo a expressão que caracteriza u:

$- \frac{1}{ \sin(x)} + k \: \: \to \: \: - \csc(x) + k$

Portanto o resultado dessa integral é csc(x). Agora que calculamos a integral, vamos repor os limites de integração e também o limite de a tendendo a 0 pela direita:

$\lim_{x \to0 {}^{ + } } - \csc(x) \bigg |_{ a }^{ \frac{\pi}{6} }$

Aplicando o Teorema fundamental do cálculo:

$\lim_{a \to 0 {}^{ + } } - \csc\left( \frac{\pi}{6} \right) + \csc(a) \\ \\ \lim_{a \to 0 {}^{ + } } - 2 + \csc(0 {}^{ + } ) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \lim_{a \to 0 {}^{ + } } - 2 + \infty \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \lim_{a \to 0 {}^{ + } } + \infty \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \infty \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Portanto temos que essa integral diverge, já que o resultado é infinito.

$\boxed{ \boxed{\int\limits_{0}^{ \frac{\pi}{6} }\csc(x) . \cotg(x) dx = + \infty }}$

Espero ter ajudado