Question

O lucro mensal de uma empresa é dado por L= -x² + 30x -5, onde x é a quantidade mensal vendida
.a) qual o lucro mensal maximo possivel?
b) quantos produtos devem ser vendidos para que se tenha o lucro máximo?

Answer 1

Oi Carol 

Para encontrar o lucro máximo vamos derivar a função e depois igualar ela a zero:

L(x)=-x²+30x-5
L'(x)=-2x+30

-2x+30=0
-2x=-30
x=30/2
x=15          (Esse é o ponto crítico. Pode ser para máximo ou mínimo)

Para saber deveríamos substituir valores abaixo e acima do ponto crítico na função derivada. 

L'(x)=-2x+30

L'(14)= -2*14+30               L'(16)= -2*16+30
L'(14)= -28+30                   L'(16)= -32+30
L'(14)= 2                            L'(16) = -2

A derivada da função foi de positivo para negativo. Logo nesse ponto crítico (15) temo um ponto de máximo. 

Agora é só substituir na função original pra saber qual o lucro máximo:

L(x)=-x²+30x-5
L(15)= -15²+30*15-5
L(15)= -225+450 -5
L(15)= 220

O lucro máximo é de 220 

b)

A quantidade de produtos já foi descoberta. É o ponto crítico. Quando se vendem 15 produtos obtem-se o lucro máximo. 

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Pode resolver essa questão sem o uso de derivadas. No ensino médio temos as fórmulas do y e x do vértice: 

a) 

Para saber o lucro máximo vamos usar o Yv

Yv= -Δ/4a
Yv= -(b²-4ac) / 4a
Yv= -(30² - 4.(-1)(-5)) / 4(-1)
Yv= -900+20 / -4
Yv=-880/-4
Yv= 220 

b)
Pra saber a quantidade de produtos usa-se o Xv

Xv= -b/2a
Xv= -30/2(-1)
Xv=-30/-2
Xv= 15



Qualquer uma das formas está correta. Não sei qual vc está vendo no momento, mas espero que goste :)